Книгата, която пиша (първа глава, трета третина)

Васил Пенчев

ЧИСЛА

Текстът е първа част от по-широк замисъл − „Числа“ (Така се казва на гръцки и от него във всички езици четвърта глава от Библията, посветена на преброяването на израилтяните и похода в пустинята). Неговият стремеж ще бъде да представи едно осъвременено питагорейство. Предвиждат се още две части:

ЧИСЛО И ЗНАК. Синтактично-семантично интерпретиране на вълновата функция

ЧИСЛО И ИСТОРИЯ. Математизирането на историята

ПЪРВА ЧАСТ

ЧИСЛО И БИТИЕ

Субективна, честотна (обективна) и единична (сложностна) вероятност: ново питагорейство

The concept of probability – The probability of a single event – Pythagoreanism – Badiou’s ”Being and event” – Process philosophy – Logos and Number – Husserl on „Galilean mathematization“ – Three options about the notion of “probability” – Probability as a code – Phenomenological, transcendental, and eidetic reduction – Derrida in the trace of Trakl after Heidegger – What are numbers in Badiou? – The universe-computer – Quantum mechanics and relativity – Gibbsian and Boltzmannian statistics – Infinity and totality – Mach’s principle – Russell on mathematics – Linearity and cyclicity – Hilbert’s problems – Gentzen’s sequent calculus – Vicious or hermeneutical circle – The Kochen-Specker theorem – Nonadditivity – Truth – Episteme in the Nicomachean Ethics and in Foucault – Ramsey on probability – Quantum probability – Kolmogorov, Cox, and Laplace on probability – The quantum propositions of von Neumannn – The „hidden parameters“ – The contribution of non-being – The axiom of choice enhanced – Turing Machine and quantum computer – Kolmogorov complexity – Complexity and randomness – Information „curvature“ – Time – Algorithm and standard – P vs. NP – The special element of a set – Cardinal and ordinal number after von Neumann – Dazeit and cyclic time – An axiom of coherence – Lattices on a qubit – Von Neumann vs. Gödel – Institution theory – The micro world as the universe or as a quantum computer – The new paradigm – The coincidence of model and reality in quantum mechanics – Bell’s criticism (1966) – The „freewill theorems” – Whether is the mathematics of the real world is Hilbert or Gödel one? – Conclusions and the forthcoming      

Понятието вероятност − Вероятност на единично събитие – Питагорейство − „Битие и събитие” на Бадиу – Процесуалната философия – Логос и число − Хусерл за „Галилеевата математизация“ − Три възможности за понятието „вероятност“ – Вероятнността като код – Феноменологична, трансцендендентална и ейдетична редукция – Дерида по следата Тракъл у Хайдегер – Какво са числата по Бадиу? – Вселената-компютър – Квантовата механика и теорията на относителността – Гибсовска и Болцмановска статистика – Безкрайност и тоталност – Принципът на Мах – Ръсел за математиката – Линейност и цикличност – Проблемите на Хилберт – Генценовото изчисление на секвенциите – Порочен и херменевтичен кръг – Теоремата на Кохен и Шпекер – Неадитивността – Истина – Епистема в Никомаховата етика и у Фуко – Рамзи за вероятността – Квантова вероятност – Колмогоров, Кокс и Лаплас за вероятността – Квантовите пропозиции по фон Нойман – „Скритите параметри“ – Приносът на небитието – Усилена аксиомата за избора – Машина на Тюринг и квантов компютър – Сложност по Колмогоров – Сложност и случайност – Информационна „кривина“ – Времето – Алгоритъм и еталон – P срещу NP – Особеният елемент на едно множество – Кардинал и ординал по фон Нойман – Dazeit и цикличното време – Аксиома за кохерентността – Решетки върху кюбит – Фон Нойман срещу Гьодел – Теория на институциите – Микросветът като вселената и като квантов компютър – Новата парадигма – Съвпадение на модел и реалност в квантовата механика – Критиката на Бел – „Теоремите за свободната воля“ – Хилбертова или Гьоделова е математиката на реалния свят? – Изводи и предстоящото  

Tъй като обемът на текста на първата част надвиши разрешения от блог-сървъра, той е разделен на три третини. Втората се намира тук, а първата - тук. Целият текст на първата част може да се изтегли от кой да е от тези три адреса: тук или тук, или тук.

Къде се генерира случайността? Как се изчислява тази колосална сложност, която виждаме и осмисляме въплътена като случайност? В противоположната област на отрицателна информационна кривина, т.е. според съвременните ни представи в микросвета.

Механизмът, който реализира отрицателната информационна кривина, се изучава от дисциплината квантова информация. Неин обект са явленията на сдвояване (entanglement). Такива са налице, когато хилбертовото пространство на системата не може да се разложи на тези на съставящите я части (напр. Bokulich, Jaeger 2010:  xiii-xiv). С други думи, на фундаменталното равнище на хилбертовото пространство системата не е адитивна съвкупност от своите части. При това приносът на частите към системата може само да увеличава сложността и да намалява ентропията: квантова системата е винаги  поне толкова организирана, колкото механичната съвкупност от своите части.

В нашия макро свят такова свойство проявяват само най-сложните системи, напр. биологическите, социално-историческите, интелигентните. То често се свързва с някаква телеология на системата или със своеобразен стремеж на системата да запази своята цялостност, а понякога и с разумност на системата или на произтичащите системни сили.

Най-изненадващо обаче се оказва, че то е заложено и в системите, които сме свикнали да приемаме за най-простите и фундаментални – физическите.  Ако обаче се взрем по-дълбоко в придвижваната тук циклично-холистична парадигма, ще разберем, че тя революционизира и нашите линейни представи за просто и сложно, отново напълно в духа на  възгледите на вече цитирания Николай от Куза (Николай Кузански 1993). Най-сложното неминуемо ще ни се представя като най-просто и заради това, че във физическите микросистеми ние боравим с тоталността на вселената, множество доводи за което вече бяха приведени по-горе: това е една от основните теми в настоящата работа. Нека само подчертаем, че тоталността на вселената, принципната ѝ уникалност, единичност би следвало да изисква зациклянето ѝ в най-малкото и простото. Донякъде шеговито, както „блажени са нищите духом“, така „блажени са и елементарните частици“ (Тук подходящият емотикон би бил „търкаляща се от смях главичка“.)

Тоталността, вселената, целостта ни се представя всъщност поради цикличността и независимо от това, също и непрекъснато циклично като най-простото: във фундаментална математическа структура, по питагорейски съвпадащата с битието, като каквото изследваме хилбертовото пространство.

Можем да добавим цикличността и като относителност на наблюдател и наблюдавано, и в крайна сметка − на обект и субект, чрез примера с разширяващата се (и дори може би ускоряващата се) вселена. Наистина имаме видимо раздалечаване. Но неговото наблюдаване почива на една скрита аксиома – за постоянството на мерките на самия наблюдател. Наистина ако напротив, приемем, че той се свива („реципрочно”), а вселената е стационарна, то ние ще получим точно същата набюдавана картина. Как може да се обясни физически такова свиване? Например чрез гравитационен колапс („черна дупка”) в достатъчна близост до наблюдателя, която едновременно го притегля и свива. Но ще разбере ли това наблюдателят, или ще създаде научна теория за „Големия взрив” чрез който да обясни наблюдаваното като външно?

Известно е че в човешкото познание съществува тенденция – най-известният пример е геоцентричната система, превърнал се дори в нарицателно – за ексториоризация на движението „навън” и „отвън”, съответно за неподвижност на наблюдателя. Дали и сега не се сблъскваме със специфично проявление на този познавателен феномен? Ако е така, двете гледни точки – на движение на наблюдателя и на движение на наблюдаваното – макар и да дават първоначално донякъде сходни резултати, все пак допускат експериментални различия (поне по принцип), − поради което една от двете гледни точки е възможно да се отхвърли като погрешна.

Но ние се интересуваме също така − и дори всъщност в много по-голяма степен − и от физически или онтологичен принцип, който да изисква инвариантност спрямо двете гледни точки. Разбира се, специалната и обща теория на относителността постановяват и установяват равноправието на отправните системи, но самото понятие за отправна система изисква „начало” и следователно принципът на относителността, колкото и да е „общ”, съпоставя точки от двете непрекъснати траектории, и дори диференцируеми, за да е дефинируема ‘скорост’. В случая, който започнахме да обсъждаме, става дума за донякъде по-различен тип относителност: напр. относителност на центъра и фронта на разширяваща се вълна.

Нашите разсъждения сега могат да се подпомогнат от изгледа на светлинния конус в пространството на Минковски, проектиран в тримерното евклидово пространство като сферична вълна, разширяваща се със скоростта на светлината. Това е само областта на бъдещето от светлинния конус. А миналото? То би изглеждало като свиване от сферата достигнала безкраен радиус обратно до точката на наблюдателя. Но това разбира се е тъкмо „другата половина” на търсения нов вид относителност. Тя сега ни се представя като добре известния принцип за инвариантност на физически закони спрямо това дали протичат в бъдещ или минал момент. Дали хипотезата за „Големия взрив“ отговаря на това условие? Поне на пръв поглед – да, тъй като предполага еднакви закони, но различни условия, поради което се проявяват по различен начин. Едно по-внимателно вглеждане, основано на обсъждане на границите на възможност на приложение на строго разграничение между закони и условия, което би могло да ревизира възгледа ни, ще отложим за последваща публикация.

Но това, което ще подчертаем, че подходът, при който светлинният конус, дори и безкраен, е цикличен, не противоречи на такъв тип принципна относителност, изискваща инвариантност спрямо протичането им в миналото и в бъдещето. Тоталността на цялото тогава се завръща във всеки момент и във всяка своя точка на настоящето от бъдещето, изглеждайки все едно, че е от миналото. Макар да можем да се представим периодична поредица от „Големи взривове“, хипотезата за него всъщност противоречи на тази за цикличност, тъй като тя изисква – по съображения за математическа съгласуваност – перманентен „Голям взрив“ във всяка точка от пространството и времето, който само чисто хипотетично може да се събере и проектира в една начална нулева точка на времето. Такова проектиране не е принципно експериментално неразличимо от хипотезата за перманентното присъствие на „Големия взрив“ във всяка точка от времето и пространството: тяхната относителност няма характер на физически принцип, а на познавателна алтернатива.  

Квантовата механика и информация показват структурно-математическите и следователно количествени, числови в обобщен смисъл, механизми как се поражда неадитивната спрямо частите на квантовата система и превъзхождаща сложност на цялостта. Няма достатъчно силна дума, за да се предаде значението в тази насока на формулирането на неравенствата на Бел (Bell 1964) и експерименталното доказване за тяхното нарушаване под най-различни форми като се почне още 70-те (Clauser, Horne 1974) и 80-те години (Aspect, Grangier,  Roger 1981; Aspect, Grangier, Roger 1982), и вече в лавинообразно нараснали публикации до наши дни{41}, {42}.  В крайна сметка и положено с най-едри щрихи, те доказват своеобразната интелигентност на микросвета, произтичащата в нашето обяснение от представянето − поради холистичната цикличност − на тоталността на вселената в него. Има публикации, които обсъждат и защитават нарушаване на неравенствата на Бел в макросвета (напр. Aerts, Aerts, Broekaert, Gabora 2000).

Да се върнем към осмисляне на това положение на нещата в „кюбитовата парадигма“, в която се постарахме да преобразуваме − по подробно описания по-горе начин − класическата двуполюсна епистема, тъй като тя синтезира нашия питагорейски онтологико-математически подход. 

И така, според нея разполагаме с цялост − в сферата на кюбита – и с полюс върху нея − за частта. Отрицателната информационна кривина или отрицателната условна ентропия при явленията на сдвояване се дължи на външните части върху частта, в която актуално сме – полюсът. Сложността може да надвиши случайността тъкмо поради „помощта на околната среда“, която встъпва в качеството на своеобразна и некласически тип вътрешност, парадоксално на пръв поглед разположена отвън. Всъщност в кюбитовата парадигма трябва вече да се мисли за ‘разделение и цялост’: ‘вътрешно’ и ‘външно’ произхождат единствено от разделението, което в двуполюсния модел е абсолютизирано до степен да се изхвърли цялостността. Привидната парадоксалност на „външната вътрешност“ произтича тъкмо от предразсъдъка и автоматизма да се осмисля всичко аналитично, т.е. чрез разделение, дори и – както е в нашия случай – противоположното на разделението, цялостността.  

Следователно е по-коректно да се каже, че отрицателната информационна кривина или отрицателната ентропия се дължи на въздействието на целостта, което е числово в обобщен смисъл, т.е следва да се мисли по питагорейски, върху всяка една своя част, която запазва своята уникалност като полюс поради изначалната уникалност на цялостността. Едва когато се опитаме да изразим или тълкуваме тази същност в обичайните аналитични дрехи на научността, се оказваме принудени да използваме оксиморони от рода на „външна вътрешност“ или „вътрешна външност“. Те са не повече от един неподходящ начин да се представя цялостността според утвърдения понятиен тезаурус на западната традиция.

Това е един отдавна констатиран проблем на изказа в квантовата механика, който тласка учените да използват „гол“ математически апарат, избягвайки от интерпретация на физическия смисъл или от поразителното множество на алтернативни интерпретации {43} за един и същ или сходен апарат (напр. Caponigro).  Търсенето на тълкувание често означава да се приемат за дадени обичайните предразсъдъци, които единствено възпрепятстват да се изрази смисълът и пораждат нелепи и неудачни словесни творения като гореспоменатите.

Тъкмо това насочва вероятно най-дълбокият философ след основателите на квантовата механика, Нилс Бор да търси опора първоначално в изключващата диалектика на сънародника му Киркегор, един от „дисидентите“ в западната философска традиция, а впоследствие – в цикличната цялостност на Ин и Ян, от дълбока древност вплетени в китайските учения и оказали решаващо влияние върху духовната култура на Изтока. Целият ход на нашето изследване ни убеждава в далновидността и мъдростта на неговия подход, положил реалната основа за философията на квантовата механика и информация.

Тъкмо затова естественото за онагледяване на кюбитовата парадигма е – след демонстрираната уродливост на породените от аналитичния изказ оксиморони: при това не остроумни, а само грозни – да се обърнем към Книгата на промените, И Цзин:

Гадаенето (което ще мислим също и като принципно случайното измерване) задава един полюс, тук и сега, Da, във вселената, цялостността, Sein, при това обединявайки ги в Da-Sein, Dasein  чрез едно от 64 числа, хексаграми, образуващи цикъл, всяко от тях съставена и съпоставена от два субординирани подцикъла, триграми. Макар да беше използван естественият за нас термин „числа“, той затъмнява половината от същността на хексаграмите: те са пореден номер, място в цикъла, който е съвършено подреден.

Макар да обобщихме числата като математически структури, от урока, разказван ни вече хилядолетия от И Цзин, ще извлечем още една, и то еднакво важна поука: математическите структури, които ще използваме в питагорейския си поход, да бъдат обект в циклична категория. Така обектът ще бъде тълкуван като едно Da в цикъла от морфизми на категорията, Sein, при което хексаграмата от Книгата на промените  да съответства на двойката, Dasein, от обект (полюс) и циклична категория (кюбит). Нещо повече, ние ще търсим аналози и на съставните триграми в предизвестена евристика на (по възможност изо-) морфизъм между вътрешен цикъл на морфизмите и вътрешен цикъл на обекта, Da, и оттук на всеки един обект (но не непременно една и същ тип цикличност за всеки обект, предполагайки полицикличност на морфизмите).

Очевидно, при определени условия ще е налице пълна симетрия, изразяваща се в разменимост  на (цикъла от) обекти и на (цикъла от) морфизми, което с ясна и шеговита  алюзия ще наречем принцип на Учителя Чжуан (Джуан) за пеперудата, запазвайки за друга публикация темата, какво би се случило или ще се случи, ако тя „размаха криле“. 

Нека сега обсъдим влиянието на количествената степен на сдвояване върху условната ентропия, която по нашия начин на разглеждане можем еквивалентно да мислим и като отношение на случайности, и като отношение на сложности, тъй като в точката на нулева информационна кривина сложността и случайността – видяхме – са просто реципрочни.

За нашите разсъждения ще помогне изследването на функцията на условната ентропия на даден обект, чиято сложност се приема за параметър на функцията, докато нейният аргумент е вероятността на (информационното) въздействие от околната среда, т.е. степента на цялостност на системата, в която е включен обектът или с други думи – на сдвояване.

Ако се ограничим до елементарния случай на стандартна вероятност в затворения интервал между нула и единица и сложност в битове, понеже става дума само за на̀глед, веднага се вижда, че условната ентропия има максимум в точка, пропорционална на сложността на обекта. Понеже коефициентът на пропорционалност зависи само от конвенционално избраната основа на логаритъма, т.е. колко „цифри“ има бройната система за числото, чрез което кодираме,  можем да се договорим да го приемем за единица и условната ентропия да има максимума си в точката, съвпадаща със сложността на обекта.

В класическия случай в тази точка е концентрирана цялата вероятност на обекта, а разпределението на вероятността по възможните сложности или „светове“ има вида на делта функцията на Дирак, т.е. на безкраен пик в една точка, съвпадаща със сложността, и нулеви стойности във всички останали. Ако изтълкуваме получения резултат онтологично, бихме могли да кажем, че обектът притежава строго фиксирана сложност, която може да се отъждестви с неговото съществуване. Тъй като сложността е число, битието му се интерпретира питагорейски. При това тази сложност е идентична със стойност на аргумента функцията, който представяше степента на цялостност на системата спрямо конкретния обект.

Така получаваме възможност да осмислим холистично още класическия случай на битие, изцяло съсредоточено в самия обект, в неговата действителност: действителността на обекта като негова сложност представя степента на цялостност на системата в тази част в пространството от частите на системата. С други думи, дори и тогава можем да дефинираме частта само на основата на цялото: като еднозначно определена степен на цялостност на цялото. 

В квантовия случай обаче  вероятността на обект не е изцяло съсредоточена в максимума си, а образува плавна камбановидна крива с непрекъснат спектър от сложности, които – за да запазим стила на мислене в класическия случай − можем да разположим в различни класически светове, във всеки от които обектът е с различна вероятност, но и сложност следователно. Това е начинът на представяне, експлоатиран в многосветовата интерпретация на квантовата механика (Everett III 1957; DeWitt, Wheeler 1967), който обаче не прави повече от това да показва колизията на квантовото с класическото мислене в термините на последното като множество от класически светове.  

Мислейки собствено философски, за нас е много по-съществена новата перспектива към модалните  категории като възможно и действително, а и необходимо, изцяло от холистична позиция, т.е. като пряко изводими от цялостността:

Действителното е максимумът на цялостност, който може да се съсредоточи в даден обект, докато възможното е всяка по-малка от максималната цялостност, съсредоточила се в обекта. Необходимото е абсолютната сложност на обекта: едно число, което съвпада с действителността само ако обектът се разглежда спрямо системата на тоталността, универсума. Във всяка друга система разликата между действително и необходимо за даден обект се представя количествено като специфичната за него в тази система информационна кривина или като несъвпадение на неговото действително качество с неговото необходимо количество. Ако необходимото количество съвпадне с едно възможно качество, то ще е налице квази-действителност. Следователно стандартното класическо отъждествяване на действителното със съвпадение на възможното и необходимото идентифицира някоя (а изобщо, всяка) квази-действителност като самата действителност.

В резултат можем да осмислим по необичаен начин и небитието, включително и количествено, като разлика между действително и възможно. Оттук следва, че в класическия случай неговият принос трябва да е нулев. Очевиден е вече източникът на позитивния му принос: всъщност небитието се мисли като потенциално битие или като потенциалната цялостност, която би могла да се съсредоточи в изследваната част. Уместна е аналогията и с понятието за потенциална енергия, която не е налична енергия (както напр. кинетичната) и въпреки това има положителен принос към общата енергия.

Произходът на такова позитивно небитие в смисъла на потенциално следва се търси в цялостността, по-непосредствено − в сдвояването, произтичащо от нея, между дадена обособена част и всичко останало от цялото. Позитивното небитие може да се тълкува и като различно по степен отражение на частта във всичко останало, и като обратното въздействие на всичко останало върху изследвания обект, изразяващо се в ограничаване степените му на свобода. Отново аналогията с потенциалната механична енергия и нейната зависимост от координатите може да е полезна, доколкото обектът заема някакво място, което се определя с координатите, и по-този начин обектът и всичко останало взаимно ограничават степените си на свобода, тъй като средата фиксира мястото на обекта в даден момент, а обектът оставя все едно негативен отпечатък в средата, като не позволява нещо друго да заеме това място.

Относителната ентропия според направеното обсъждане може да се мисли и като математическото очакване на сложността и по-точно – на сумата от абсолютната и от относителната сложност на обекта спрямо своя негативен отпечатък в средата. Първата е заради битието, а втората – поради небитието, вече изяснено от нас като потенциално битие. Това ни навежда на свой ред и обратно да осмислим определението на физическата величина в квантовата механика като математическото очакване на всичките ѝ възможни стойности по следния начин: като относителната ентропия на стойностите ѝ спрямо нейната вълнова функция. Тъй като вълновата функция идентифицира всеки квантов обект (в даден момент), то бихме могли да си позволим донякъде и по-свободни тълкувания:

 Трябва само да се спазва, че сложността съответства на величината, случайността − на вълновата функция, а на спрегнатата вълнова функция − реципрочната стойност на случайността (абсолютната сложност). Тогава, следователно, абсолютната сложност се асоциира с квантовия обект, докато относителната − с конкретната величина. Самата величина е относителната ентропия на относителната спрямо абсолютната сложност.

При това се извършва обобщение от сложност в битове към такава в кюбитове. Даването на строго определение на сложност в кюбитове, при която самата квантова величина се интерпретира като сложност, излиза извън предмета на настоящата работа, макар контурите да бяха очертани достатъчно ясно. Независимо обаче дали в битове, или в кюбитове, при кодирането се съпоставя добре наредено множество на една цялост. Според нашия патос, когато тълкуваме, както по-горе, физическата величина като сложност от обобщен тип на особени, квантови алгоритми, съответно, квантов компютър, броенето се оказва преобразувано във време. 

 Как в квантовото кохерентно цяло се появява времето и броенето като физически механизъм, а оттук и числото, след което се налага да се обърнем към питагорейство? Отново от външните части, но когато тяхната маса превиши масата на кохерентната цялост десетки порядъци пъти. За да изясним механизма, ще използваме термина „дължина на настоящето“ или за краткост само „настояще“ за даден обект (цялост), дефиниран като периода на дьобройловската вълна, която му е аташирана (Пенчев 2009: 134). Следователно дължината на настоящето е различна за всеки обект и обратно пропорционална на неговата маса.

Като отклонение ще изкажем хипотезата, че масата е пропорционална на свой ред на сложността на обекта за единица време, като коефициентът на пропорционалност е именно константата на Планк. Това е едно алгоритмично информационно тълкувание на прочутото съотношение, въведено от Айнщайн в статията, в която обяснява фотоелектричния ефект (Einstein 1905Ü: 143-144) и която е изрично посоченият му принос за получаването на нобелова награда {44}.  

Тогава масивната среда (напр. на уреда, но и всяка друга, включително естествената) за всеки микрообект е тази, която осъществява избора на момент (число) сред кохерентната цялост на квантовия обект и която можем да мислим като физически еквивалент на безкрайността. Този избор е случаен, но според патоса на настоящия текст, ние го осмисляме като некрайно сложен, като елементарното квантово изчисление, осъществявано от един кюбит.

Каква е същността на такава калкулация? В новообразуваната чрез добавената квантова цялост макро цялост се намира номер (времеви момент) за новопостъпилата по такъв начин, че макро целостта (напр. на уреда) да се съхрани. С това новодобавената малка сложност на микрообекта увеличава сложността на макрообекта адитивно, доколкото събирането на маси е кумулативно. Следователно изборът, който според „класическата“ квантова механика е случаен (предизвиквайки праведно-гневното възмущение на Айнщайн и пейоративното му сравнение с хазарт: „заровете“ на Бога-„комарджия“), всъщност е детерминиран, но по начин обобщаващ класическата детерминираност в две направления:

1. Това е некрайна детерминираност, принципно различна от класическата статистическа детерминираност, пораждана от много голям, но все пак краен брой параметри, които остават „скрити“, но независимо от това обективно съществуват като „елементи на реалността“, ако използваме термини от статията на тримата автори (Einstein, Podolsky, Rosen 1935).

2. Тя не произтича нито от самия обект, нито от взаимодействието му с обособени части на средата, колкото и широко да бъде разглеждана, а тъкмо от цялостността на новата цялост, в която трябва да намери предопределеното си и в този смисъл детерминирано място новопостъпилият квантов обект.

Такъв подход ни дава конкретен начин, т.е. като физически механизъм, да осмислим връзката между число и цялост: чрез числото целостта може да се запази и след „приемането“ на нов член. Тъкмо чрез Числото в най-широк смисъл (т.е. математическата структура) механичният сбор, адитивната съвкупност от части може да се превърне в кохерентна цялост (неделима система).

Следващата крачка, която ни предстои, е да обосновем питагорейството, произтичащо от квантовата механика, тъкмо като смяна и по-точно, обобщаване на двуполюсната парадигма по един начин, произтичащ от хода на цялото предходно изложение.  Време е вече получените резултати за преобразуваната епистема да бъдат интерпретирани обратно по отношение на квантовата механика тъкмо от която дойдоха импулсите за трансформация. Сега квантовата механика е пример на теория в новия вид епистема.

В двуполюсната епистема „теория“ е едно от възможните имена на полюс, като съответният му противоположен обичайно е свързван с термина „реалност“. Зададено е пространство на усъвършенстване на теориите, в което съществува частична или дори добра наредба, по посока на недостижима, но непрестанно приближавана реалност. Обаче в една циклично-холистична епистема двата полюса − в случая теория и реалност − трябва да съвпаднат. Нека проследим последователно две равнища, на които това се случва:

1. Емпирично.

2. Онтологико-математически

Първото равнище може да остави без отговор – по модела на интуиционизма относно правилото за изключеното трето за безкрайни множества – въпроса за типа на подлежащата епистема, т.е. дали става дума за достатъчно добра теория, която засега не може да бъде опровергана чрез известните опитни резултати, или за лелеяната съвършена теория, която никога няма да бъде опровергана. Заедно с това трябва да се покаже, че тя е фалшифицируема, т.е. подлежи по принцип на опитно опровержение, но да се докаже, изхождайки от някакви достатъчно приемливи изходни постулати, че то не може да се случи и, разбира се, да се осмисли философски защо не може. Последното е вече предметът на второто, онтологико-математическо равнище.

Ето принципа на доводите, свързани с емпиричното съответствие. Разликата в мащабите на квантовия обект и уреда е от порядъка на константата на Планк, т.е.
10^-34 (при едни мерни единици, свързани с макросвета) следователно от такъв порядък ще се различава модела, Хилбертовото пространство от реалността и далеч под емпиричната грешка. Но това едва ли е вярно: ако беше така, под емпиричната грешка щяха да бъдат и самите квантови обекти. Обаче се запазва лесно разбираемият тип обяснение: модел и реалност. Продуцира го дискурса на обяснение, а не положението на нещата. Но той е полуправилен, защото наистина разликата между модел и реалност е много под емпиричната грешка и модел и реалност са емпирично неотличими (напр. Townsend 2000: xi) {45}, стига епистемата на модел и реалност да е адекватна. Самото понятие за „емпирична грешка“ е създадено и работи в двуполюсната епистема, доколкото се определя или неконструктивно като разлика на модел и емпирично недостъпната моделирана реалност, но сама по себе си, или като разлика между теоретично предсказания и емпирично измерения резултат. В нашия случай то няма да е полезно, понеже количествено измерената емпиричната грешка, поне като разлика между ‘модел’ и ‘реалност’, трябва да е нула.

Обосноваването на квантовата механика като съвършена теория, т.е. като такава, която може и съдържа вътрешно доказателство за съвпадението си с реалността, се дава отново от фон Нойман в същата работа (1932) и е известна като теорема за отсъствие на скрити параметри в квантовата механика (von Neumann 1932: 167-170). Преведено на езика в нашия случай: ако са валидни шест предпоставки (von Neumann 1932: 165-167) от модела на Хилбертовото пространство, то той е самата тоталност. Шестте предпоставки са такива, че четири имат характер на общи аксиоми за адитивност на математическото очакване на физическите величини, а двете останали твърдят, че всяка поредица от реални числа (хипермаксимален оператор) е физическа величина и обратното. Последното обаче, ако се допълни, че на всяка реална стойност на величината съответства вероятност да се случи или да бъде измерена, съответства на определението на физическа величина в квантовата механика. Следователно, не от целия модел, а от малка част от него, и то твърде естествени аксиоми, следва, че това е самата тоталност, 100%.

Идеята за съвпадение на модел и реалност в квантовата механика произлиза непосредствено от теоремата на фон Нойман за отсъствие на скрити параметри в квантовата механика. Достатъчно е само да изтълкуваме скритите параметри като произтичащи от неотразената в модела реалност, т.е. от разликата между последните две. Всъщност статистическият подход на класическата физика се обосновава епистемологично именно така: става дума за огромен брой реални параметри, които обаче остават скрити в модела, боравещ само с величини, осреднени по един или друг начин спрямо случайно разпределените (различни и други) величини на всеки индивид от изследвания ансамбъл. Въпреки че първите величини се приписват на ансамбъла като цяло, те изцяло произтичат от неговите елементи. По този начин целостта е не повече от своеобразен епифеномен, присъщ само на модела на статистическия ансамбъл, и то тъкмо поради неговото „несъвършенство“: принципната му разлика от реалността.

На този фон можем да подчертаем уникалното своеобразие на квантовата механика, което бива изведено на преден план от теоремата за отсъствие на скрити параметри. Тя показва именно принципното отсъствие на разлика между модел и реалност в квантовата механика. Ние го осмисляме като дължащо се на факта, че цялостността не е само епифеномен на модела, както е в класическия случай, но е присъща на самата реалност. И двете, и модел, и реалност, бидейки цялостни, взаимно се обхващат и необходимо съвпадат винаги. Но ако това е така, самото разграничение на модел и реалност престава да бъде работещо и запазва не повече от научно-исторически и сравнителен смисъл по отношение на класическите теории.

Обаче теоремата на фон Нойман е подложена на остра критика по отношение на адекватността на предпоставката за адитивност на математическото очакване на квантови обекти (Hermann 1935; Bell 1966), . Предстои ни да покажем по какъв начин трябва да интерпретираме отсъствието на скрити параметри при вече експериментално доказаната нарушена адитивност на математическото очакване. Всъщност разглеждането на Бел обобщава теоремата на фон Нойман и съответно принципа на цялостността дори и за такива квантови обекти, които са неразделна част от квантова система, а обсъждането от последния запазва валидност за изолирана квантова система. Да проследим как се извършва обобщението: 

Грете Херман (Hermann 1935) и независимо Джон Бел (Bell 1966) отхвърлят постулата за адитивност на математическото очакване на физически величини. Така вторият обосновава своите неравенства (Bell 1964), чието нарушаване днес е установен експериментален факт. С това най-парадоксално всъщност изясняват, че макар по теоремата на фон Нойман тоталността сама по себе да може да се отнесе единствено към изолирана система, когато това не е валидно (системата не е изолирана и поради това очакването не е адитивно), понятието за локална тоталност остава абсолютно точно. Локална тоталност означава част, която се разглежда като цялост и която включва цялата си околност все едно като своя нестандартна част. Така тоталността може да се разположи във всяка своя ограничена част, стига да я разглеждаме като  цялост и това твърдение не зависи от нито една от шестте предпоставки на фон Нойман, валидно е и ако са изпълнени: тогава целостта се разглежда като затворена система, и ако не са изпълнени, тогава целостта е отворена, но включва външността си като нестандартна своя част.

Смисълът е, че всяка квантова цялост (кохерентност) може да се разглежда като тоталност независимо дали взаимодейства или не с външността си. С други думи, всеки квантов обект е локална тоталност, еквивалентно представена като цялост, т.е. холистично. Холистичната логика или по-скоро „холистичната семантика“ (Cattaneo, Chiara, Giuntini, Paoli 2009: 193) следователно трябва да бъде логика на локалната тоталност. При това обаче не става дума за приближение, а за съвпадение на модел и реалност.

Читателят би могъл да заяви, че такъв подход подозрително наподобява философска спекулация или източен мистицизъм, неуместни за една научна теория, каквато не само претендира, но и несъмнено е квантовата механика и информация. Всъщност подобно объркване произтича от отъждествяване на научността и оттук − на всяка възможна теория с аналитичната традиция на Запада, докато сега се сблъскваме с необходимостта да преобразуваме самата идея за научност и теорията на познанието на холистичен принцип. Ще използваме „кюбитовата епистема“, за да покажем начина на трансформиране при общия случай на неизолирана квантова система, визирано във възможността за̀ и експериментално доказаното нарушаване на неравенствата на Бел. Ето как:

Нашият проблем е да намерим взаимно-еднозначно преобразование на повърхността на сферата върху част от нея, така че получената част да представлява взаимодействащата квантова система, а допълнението ѝ до сферата – околната среда, с която се взаимодейства.

За целта нека оставим два кюбита континуално да проникват един в друг: това би било достатъчно общо и едновременно философско, по-точно – теоретико-познавателно осмисляне на сдвояване, което ще се увеличава непрекъснато. Ако стойността на кюбита е в общата област на сферите, то стойността на единия предопределя стойността на другия. Ако не – стойностите им са независими. В такъв случай се вижда, че колкото е по-голямо взаимното проникване, толкова по-ограничени са степените на свобода на всеки един от тях. Отношението на мярката на повърхността на сферата, обхваната от сечението, към пълната повърхност на сферата ще представлява мярка за сдвояването, очевидно еднаква и за двата кюбита.

Ще наречем единия кюбит на изследваната квантова система, а другия – на околната ѝ среда или уреда, който я измерва. Тогава бихме могли да си представим едно хипотетично почти максимално проникване, при което от сферата на кюбита за изследваната система е останала само една точка, която да не е обхваната от сечението и нея ще наречем на измерената стойност на изследваната величина на квантовата система.

Ако вземем предвид една от водещите интерпретации на кюбита, като клетка от фазовото пространство, то съотношението за неопределеност ще гарантира една минимална повърхност, равна или пропорционална на константата на Планк, в която не може да се проникне, една минимална „свобода на индивида", която никоя околна среда или взаимодействие не може да му отнеме.

Всъщност онова, което изтълкувахме като неотменна „свобода на квантовата система, гарантирана от вселенската конституция“, заедно с това гарантира и съществуването на взаимно еднозначно изображение между взаимодействащата квантовата система (повърхност от сфера с ненулева мярка) и кюбит. Направеното разглеждане е с фундаментално философско значение:

Съхраняване на една гарантирана свобода на взаимодействаща система заедно с това запазва и нейната цялостност и еквивалентност с всяко друго цяло, в това число и с абсолютното цяло – вселената, както и обратното.   

Това положение на нещата може да се сметне дори и математически доказано в т. нар. теореми за свободната воля. Уместно е в тази връзка да се обърне внимание на втората от тях (Conway, Kochen 2006; 2008), според която – в една по-философска интерпретация, предложена обаче от самите автори, ‒

ако ние хората имаме свободна воля, то и елементарните частици вече имат свой собствен дял от тази ценна стока [commodity]. По-точно, ако експериментаторът свободно избере посоките, в които да ориентира своя уред при определено измерване, тогава отговорът на частицата (за да бъдем педантични – отговорът на вселената близо до частицата) не е определен от цялата предишна история на вселената (Conway, Kochen 2008: 1) {46}.

По същество аргументът е видоизменение на „парадокса” АПР, при което се приемат три аксиоми, фактически съответно сродни със: първата ‒ с теоремата Koхен – Шпекер (Kochen, Specker 1967); втората – с постулиране на квантови корелации; третата – с лоренцова инвариантност (или както е в първоначалния вариант – 2006 – с крайна скорост на предаване на информацията). Строго се извежда при тези условия факт, който може да се нарече „квантова корелация на свободния избор”. Ако експериментаторът при микрообекта B свободно избира експеримента, то неговата свободна воля неминуемо корелира и се отразява в аналогично качество на микрообекта A, който е отдалечен на произволно разстояние. Ако знанието е оприличимо на ограничаване на степените на свобода на модела по отношение на обекта, то „теоремата за свободната воля” огледално надарява модела с толкова степени на свобода, колкото притежава обектът. И ако в качеството на обект се разгледа самият експериментатор, то поведението на микрообекта B също – поради двойното постулиране и на квантови корелации, и на лоренцова инвариантност – също се оказва свободно.

Както показва цитираната вече „теорема за свободната воля” (Conway, Kochen 2006; 2008) квантовата  механика позволява буквално, а не само метафорично пренасяне на свойства както от микро- към макро-равнище (напр. от квантовата суперпозиция към „живата-и-мъртва котка), така и от макро- към микро-равнище (от свободната воля на експериментатора към „тази” на микробоекта). Причината се корени в уникалната и изглежда, неизбежна епистемологична структура на квантовата механика, която е теория за системата макроуред – микрообект: тъкмо целостта на системата се оказва субстратът на този учудващ, а понякога и забавен пренос.

Квантовите корелации могат да са налице и при отсъствие на вероятности от честотен тип, при което те могат да се наблюдават в единичен експеримент, а не както е в по-традиционния вариант – статистически: в достатъчно голямо множество от експерименти, основавайки се на вероятностни неравенства между математически очаквания (така е в оригиналните неравенства на Бел). Същата схема – без вероятности – е използвана в „теоремата за свободната воля” {47}.

И така, всяка квантова система, поради съотношението за неопределеност, дори и когато взаимодейства по произволен начин, не може да наруши своята цялостност и следва да бъде мислена и като общото цяло с взаимодействащата околна среда, която пък встъпва в качеството на нестандартна нейна част, която е „външна“. Нарушаването на неравенствата на Бел извежда и експериментално показва, че именно обрисуваното положение на нещата е валидното, а не класическото разглеждане, което е не холистично, а аналитично и полюсно в теоретико-познавателен план.

Може да се отбележи известна неопределеност в собствено квантово-механичното интерпретиране на понятието за кюбит: първо, като отношение на две комутиращи величини; второ – на некомутиращи величини; и трето, като „ос“ на хилбертовото пространство. В първия и третия случай стойността е именно точка върху повърхността на сферата, но във втория е сегмент, чиято минимална големина е ограничена от съотношението за неопределеност. Макар и различни, трите подхода към ‘кюбит’ са сродни. Те произтичат от различния начин на въвеждане на двата комплексни коефициента, конституиращи кюбита. Във всеки един от случаите те са нормирани с квадрата на модула от сумата на двата, но самите коефициенти имат различно значение:

В първия случай това са два едноименни комплексни коефициента от вълновите функции на две комутиращи величини, във втория – на некомутиращи величини, в третия: два произволни (неедноименни) коефициента (обикновено съседни) в една и съща вълнова функция. Кюбитът може да се използва, за да изрази както сдвояването на два обекта, така и вълновата функция на един обект. Така понятието „кюбит“ се оказва инструмент за изследване на всяка квантова система едновременно и като неделима цялост, и като съставена от сдвоени, т.е. взаимодействащи в общия случай квантово-информационно части. Подчертава се аспектът на една нова относителност, а оттук и на ново изискване за инвариантност на физическите закони – на цяло и части.  

 И така, в квантовата механика е налице съвпадение на модел и реалност. Остава обаче открит въпросът как да се тълкува този факт: дали е случайно, особен частен случай, или обратно: това е общият случай, който обобщава класическия на несъвпадение. Очевидно, с въвеждането на „кюбитовата парадигма“ се насочваме към първото решение. Всъщност показахме, че множество различни тенденции от различни области, вкл. и собствено философски учения като феноменологията, се събират в нея, преобразувайки класическата двуполюсна епистема в нова циклично-холистична, от която първата е изводима като частен случай. С това разработваме идеята, че съвпадението на модел и реалност е необходимо, но в някои по-прости случаи цялостността може да се изключи от разглеждане като се замести с приближен еквивалент: този на двуполюсна линейна схема.

Но ако сме твърдели, че модел и реалност необходимо съвпадат в циклична цялостност, това ни дава основание също да твърдим, че реалността е моделът (хилбертовото пространство). Това, разбира се, е ново питагорейство на мястото на епистемата "модел - реалност". Най-сетне хипотетично могат да се предположат необикновени онтологии, в които в които тоталната реалност е същинска част от модела.

Безкрайността ни даваше само недостижим емпирично модел на тоталността, докато квантовата кохерентност ни я предложи емпирично: така че сега се каним да разположим техниката си и в тоталността и да я експлоатираме. Не знаем какво ни очаква: нов рог на изобилието или кутия на Пандора, най-вероятно – и двете.

В изложението досега вече неявно беше формулирана и обоснована идеята, че има пряко противоречие между теоремата на фон Нойман (Neumann 1932: 170) за отсъствие на скрити параметри в квантовата механика и т.н. първа теорема за непълнотата на Гьодел (Gödel 1931: 187). В това противоречие могат да се обособят два аспекта – онтологически и  логически:

Онтологичното равнище на обсъждане изисква да се постави въпросът за отношението на математика и реалност. Вече изяснихме, че проблемът се свежда до това, дали реалността и математическият модел винаги съвпадат при подходящо избрана математическа структура или могат да съвпаднат, или между тях е налице неотстранима дистанция. В настоящата работа се защитава първата позиция, по-предпазлива е втората, която се ограничава до добре установеното. В степента, в която тя се потвърждава експериментално (вкл. и косвено, чрез нарушаване неравенствата на Бел), може да твърдим, че реалната математика на нашия свят е по-скоро Хилбертова, а не Гьоделова. Така въпросът, който поставя теорията на относителността за „реалната геометрия“ на нашия свят, може да се обобщи относно „реалната математика“. Въпрос на аксиоматично полагане е актуалната безкрайност и оттук, самообосноваването на математиката. Но следствията от такова постулиране могат да се изследват за експериментално потвърждение и на тяхна основа да се заключи за реалната математика на света. Отговорът, получен от квантовата информация, е еднозначно в полза на Хилбертова математика на света.

В логическото равнище можем да различим две поднива. Първото е тясно свързано с онтологичното обсъждане. Какъв е статутът на т.нар. първа теорема за непълнотата на Гьодел – теорема или аксиома? Второто се отнася до изясняване на разликата в предпоставките, т.е. до точно локализиране на основанието за възникване на противоречие в следствията от двете. Това, което веднага се забелязва, е че теоремата на фон Нойман е в контекста на общия му геометричен подход, поради което тълкуването на проекционните оператори като твърдения относно квантова система (Neumann 1932: 130-134) изисква те да бъдат кодирани върху вектор, а не чрез някое естествено число, какъвто е подходът на Гьодел (Gödel 1931: 178-179).

„Добре, но какво от това?“ − би могло да се възрази. Разликата не е принципна, тъй като полученият вектор, може вторично да бъде кодиран последователно като съвкупност от числа, а именно своите компоненти. При това обаче, ако става дума за общия случай на вектор в хилбертово пространство, тази съвкупност ще е безкрайна. Забележете, че с това Гьоделовото кодиране пропада, тъй като е невъзможно да се построи взаимно-еднозначно изображение между крайно и безкрайно множество. Може да се спомене, че Гьоделовото кодиране пропада по същата причина още при кодиране с ирационално число. Следователно геометричното кодиране на пропозиции, изобретено от фон Нойман, е много по-обширно, тъй като включва възможността за кодиране на безкрайни пропозиции, напр. такива с безкраен брой предикати, нещо повече, на отношения с безкраен брой относими. С това всъщност се прекрачва границата между краен човешки език и един безкраен език като природа, а така също между синтаксис и семантика или между логика в тесен смисъл и теория на множествата.

Този извод обаче е принципен, той не ни дава ключ за използване на фон Ноймановото геометрично кодиране на всякакви пропозиции, на „пропозициите на света“. За да напреднем в тази посока ще подходим иначе, след което полученият резултат ще възвърнем в току-що обсъденото.  

Нека онагледим разликата между вектор и число в двумерния случай, като посока на вектора, добавена към неговата големината, която пък е еквивалентна на числото. Така посоката ще съдържа „принципното повече“ на кодирането с вектор в сравнение с кодирането с число. Следователно нашата идея е да представим пропозицията кодирана два пъти, и то по два дуални, допълнителни начина. Според начина на осмисляне и противопоставяне на аритметизацията и геометризацията непосредствено по-горе, първото кодиращо число ще е „координата“, „проекция“ върху ‘крайността’ (и с което се ограничава аритметиката), докато втората – върху ‘актуалната безкрайност’. Разбира се, това далеч не е единственият начин на тълкуване. Можем да обобщим, че двете числа са кодиране, върху двата полюса на двуполюсната схема, която може да се получи от кюбитовата ни парадигма, както и да са наречени и разбрани в конкретния случай. Естествено е да обозначим такова кодиране като ‘дуално’. Може специално да се отбележи една особена двойка полюси – ‘профанно’ и ‘сакрално’ и да добавим към това едно философско обяснение:

Ако двете кодиращи числа се интерпретират в квантовата механика, те са задължително допълнителни, не могат да бъдат едновременно дадени, измерени (или едното, или другото) и заедно с това според очевидно следствие от теоремата на фон Нойман за отсъствие на скрити параметри всяко едно от двете кодира напълно съответната пропозиция, която кодира. Следователно излиза, че това, което добавя по същество фон Ноймановото кодиране спрямо Гьоделовото, е неизразим, но еквивалентен остатък след всяко кодиране, чрез чието добавяне кодирано и кодиращо съвпадат. Ако го кажем в термините на епистемата „модел и реалност“: между модела и реалността остава принципно неизразим остатък, който обаче е еквивалентен на модела. Само в този смисъл можем да говорим строго за съвпадение на модел и реалност в квантовата механика.

Можем заедно с това да набележим подход самото кодиране да остане в рамките на дисциплината математика, така че „структурата на структурата“ – ‘категорията’ да се кодира геометрично, използвайки за целта хилбертовото пространство, чийто формализъм е прекрасно разработен и проверен за такъв тип цели в квантовата механика и информация. Така двата основни класа в категорията − морфизми и обекти − ще бъдат кодирани съответно чрез двете „допълнителни“ числа от илюстрацията, която скицирахме. При това се надяваме − или основният резултат би бил − да докажем, че самото кодиране е изоморфно на автоморфизъм на кюбит или на хилбертовото пространство. С това би се твърдяло, че съществува нетривиално кодиране (модел) в хилбертовото пространство, което съвпада с кодираното (реалността), и да го изтълкуваме питагорейски.

И така, „второто число“ или „посоката“ на вектора в двумерния на̀глед, който използваме, ще смятаме за едновременно неизмеримо и заедно с това еквивалентно с първото число. Изобщо можем да допуснем и неравенство и следователно ненулева разлика между тези две „допълнителни“ числа. Така ще получим континуум само външно подобен на полето на комплексните числа. Всъщност това би била една нова, неизвестна и неизследвана математическа структура, доколкото всички варианти на структури, базирани на двойки числа {48}, предполагат едновременното им наличие и в този „квантов“ смисъл – комутативност (но не, разбира се, в собствено математически, под който се разбира комутативност и на втората операция, дефинирана върху двойките числа).

Ако обаче се вгледаме в току-що предложения подход: категория изобщо, т.е. „категорията на категорията“ да се кодира върху хилбертовото пространство, то двете допълнителни числа се интерпретират като код на обект и код на морфизъм. Обратно, морфизмът и обектът ще бъдат собствено кодирани в хилбертовото пространство и неговото спрегнато. Поради тяхната идемпотентност между морфизми и обекти ще съществува пълна симетрия, а „информационната кривина“ ще бъде нулева. Несиметрията между морфизми и обекти количествено се представя като информационна кривина и оттук веднага се вижда, че тя представлява своеобразна „кривина и на хилбертовото пространство“. Тъй като хилбертовото пространство е в общия случай безкрайно-мерно, то винаги подлежи на еквивалентно изправяне, стига да е валидна достатъчно мощна аксиома за избора. Все пак под „изкривяване на хилбертовото пространство“ трябва по-скоро да се разбира увеличаване на кардиналното или ординалното число на неговия базис. В зависимост от това, дали се използва кардинално или ординално число, ще се получи различно определение на „кривина”, ако базисът не е краен.

По-нататък е очевидно, че на една математическа структура веднага може да се даде квантова кинематична или динамична интерпретация, т.е. да се тълкува като квантово движение, което я „кодира“. Такава перспектива, разбира се, отново е присърце на питагорейството, доколкото тълкува физическият фундамент на света върху една още по-дълбока математическа основа, състояща се в непрестанната метаморфоза на математически структури, осъществявана чрез кодиране и прекодиране.    

В началото на текста беше обърнато внимание на шестия проблем на Хилберт (Hilbert 1900: 15-16) и беше издигната хипотезата, че като негово решение може или следва да се приеме наличието на вътрешно доказателство за съвпадение на модел и реалност в рамките на физическа теория и аксиоматизиран математически формализъм. Опитахме се да покажем, че теоремата на фон Нойман за отсъствие на скрити параметри (Neumann 1932: 170) и нейното критично (Bell 1966) обобщаване чрез неравенствата на (Бел 1964) може да се разглежда като такова вътрешно доказателство в рамките на квантовата механика и геометричния формализъм на хилбертовите пространства. Този ход на мисли естествено се обобщава чрез предложената идея за кодиране на всяка категория чрез кюбит (хилбертовото пространство), при което предполагаме, че такива модели притежават особеното свойство да съвпадат с моделираното. Тогава обаче следва да се оттласнем от двуполюсната епистема модел – реалност включително и в математическата или логическа теория на моделите, която ще се преобразува в една по питагорейски философска теория за онтологико-математическите същности.

Такъв подход – видяхме − има пряко отражение и върху „метаматематиката“, под което разбираме математическа и/ или философска теория, която се занимава с обосноваването или самообосноваването на математиката, напр. в духа на втория проблем на Хилберт (можем да добавим към него, освен шестия, първия и отпадналия двадесет и четвърти) или на т. нар. теореми на Гьодел за пълнотата и компактността (Gödel 1930) и първа и втора теорема за непълнотата (Gödel 1931). Рефлексията се състои в това, че идеята за финитно аритметично обосноваване на математиката, „препъни камък“ за което е преди всичко актуалната безкрайност от теорията на множествата и парадоксите, които тя поражда, се изяснява като аксиома, която не може нито да бъде доказана, нито опровергана с вътрешно-математически средства.

Това разчиства пътя за нова стратегия в метаматематиката: да се търси пряко доказателство за пълнота и непротиворечивост на теорията на множествата (като трудността идва именно от актуалната безкрайност), тъй като поклонението на Хилберт и на плеяда велики математици от XIX и XX век пред аритметизацията не почива на рационални доводи. На нейно място предложихме особен тип геометризация върху безкрайно-мерното хилбертово пространство. Самата актуална безкрайност е отблясък, вероятно необходимо с помощта на аксиомата за избора, на цялостността или квантовата кохерентност, която лесно може да се дефинира върху хилбертово пространство, благодарение на опита от квантовата механика и информация. Интуитивно безкрайността е изначално „невинна“, ако произхожда от цялостността. Става дума по същество за логически довод, че бинарното противоречие не може да се предицира на субект, който по определение е унарен (цялостността).

Всъщност това положение е отдавна известно в „класическата“ метаматематика, напр. чрез теоремата на Мартин Льоб (Löb 1955). Самореференциалността сама по себе си не води до парадокси, а единствено комбинирана с несамотъждественост.

Това лесно се илюстрира с парадокса на Ръсел (Russell 1908: 222): трудността идва от множеството от всички множествa, които не принадлежат на себе си. Ръселовата теория на типовете забранява самореференциалността:

Тип се определя като дефиниционната област на пропозиционална функция, т.е. като съвкупността от аргументи, за които дадената функция има стойности. Всеки път, когато има свързана променлива в пропозиция, дефиниционната област е тип, типът, бидейки фиксиран чрез функцията, за която се разглеждат „всички стойности“. Разделянето на обектите по типове е необходимо заради рефлексивните грешки, които иначе възникват. Тези грешки, както видяхме, следва да бъдат избягнати чрез това, което може да се нарече „принцип на порочния кръг“ [vicious-circle principle]; т.е. „никоя тоталност не може да съдържа членове, дефинира в термини за нея“. Този принцип, на нашия технически език става: „Това, което съдържа една свързана променлива, не трябва да бъде възможна стойност на тази променлива“. Следователно, това, което съдържа свързана променлива трябва да бъде от тип, различен от възможните стойности на тази променлива; ще казваме, че е от по-висш тип. Следователно свързаните променливи, съдържани в един израз, са това, което определя неговия тип. Това е водещият принцип за това, което следва“ (Russell 1908: 236-237). 

Феферман  посочва като въвеждане на понятието за непредикативност у Ръсел неговата статия „За някои трудности в теорията на трансфинитните числа“ (Russell 1973: 140-141).

Нещо наистина трябва да се забрани, но Ръсел не улучва кое точно. Това, което го подвежда, е сходството на непредикативността с порочен кръг. Всъщност обаче ‘тоталността’ следва да е по определение непредикативна, ако се налага да използваме термина на Ръсел.

Хайдегер на свой ред въвежда по същество тъкмо логическия порочен кръг и чрез това „непредикативността“ под името „херменевтичен кръг“ в основен метод на познание на битието (Heidegger 1977: 202-204, 210-211 и сл.). В подхода на неговата философска херменeвтика то, разбира се, е тотално (пак там: 10-11, 48). Само тогава: „Онтологията е възможна само като феноменология“ (Heidegger 1997: 48).

Всъщност трябва да се добави аксиома, наречена по-горе аксиома за кохерентността, която да изключи не безобидната самореференциалност, а действително опасното ‘множество от всички множества, които не принадлежат на себе си’. Предлаганата аксиома за кохерентността в този контекст би гласяла, че всяко множество е цялост или че всяко множество е елемент на себе си, т.е. грубо казано − самореференциално. Тогава множествата, които не принадлежат на себе си, отпадат от разглеждане понеже съдържат грешка по определение.

Всъщност поуката идва от квантовата механика и от теоремата за отсъствие на скрити параметри в нея, от обобщението ѝ чрез експериментално доказаното нарушение на неравенствата на Бел, от самата поява и бурно развитие на дисциплината квантова информация, изучаваща явленията на сдвояване, обитаващи тъкмо областта на нарушаване на неравенствата на Бел (но не само нея). Съвпадението на модел и реалност и оттук обобщаването на класическата двуполюсна епистема в нова, циклично-холистична е заложено в постулираното добавяне на „особения“ елемент на всяко множество − то самото. На свой ред това съвпадение се доказва като еквивалентно на пълнота и непротиворечивост за една аксиоматична физико-математическа или „питагорейски тип“ теория.

Само ще споменем важния и интересен въпрос, че с аксиома от такъв род не се забраняват не само „несобствените интерпретации“, но и едновременното им разглеждане със „собствените“: напр., не се забраняват не само актуално безкрайно малките и нестандартния анализ на Робинсън (Robinson 1966), но и едновременното им разглеждане с потенциално безкрайно малките на класическия анализ. Всяка една от тези математически теории представлява цялост, но те и двете пак представляват цялост, но от дуален, обобщаващ тип.

Заключението на тази част трябва да се състои в това, че развитието косвено в математиката, физиката и непосредствено във философията кулминира в преобразуването на класическата двуполюсна в нова, циклично-холистична епистема, за която беше използвана парадигмата на кюбита, онагледима като сфера и точка на нея – цялостност и посока. Тя освен останалото възстановява по нов и неочакван начин правата на едно осъвременено питагорейство, наречено дуално, поради синтезирането му с учението и определен тип философско тълкувание на квантовата механика и информация.

Ще се ограничим да припомним пет извода:

1. Шестият проблем на Хилберт в светлината на втория може да се смята за решен с даването на вътрешно за дадената теория доказателство за съвпадение на модел и реалност. Терминът „доказателство“ явно посочва, че то е математическо.

2. Квантовата механика и информация, благодарение на теоремата на фон Нойман и нейните обобщения посредством неравенствата на Бел или теоремата Кохен и Шпекер, удовлетворява изискването за съвпадение на модел и реалност. 

3. Циклично-холистичната парадигма води до сливане и на съществуването в математиката и съществуването изобщо и по този начин – до онтологизиране на числото (математическата структура).

4. Същностно принадлежащото на всяко нещо число позволява по нов начин да се осмисли въвеждането на вероятност на единично събитие чрез сложност по Колмогоров и условна ентропия и оттук понятието за квантова вероятност като съвпадение на субективна и обективна вероятност от класическата епистема.

5. Така въведена и тълкувана, вероятността имплицира понятие и количествен израз за информационна кривина и води до преосмисляне на приноса на небитието към онтологията и до неотделимо вплитане на възможността в действителността.

Като насоки за по-нататъшна работа следва семиотичното осмисляне на числото (математическата структура) и оттук предефиниране на логиката като произхождаща от цялостността на математика и език и обхождаща техните връзки заедно с мисленето изобщо. Основа на разглеждането ще бъде семантично-синтактичната интерпретация на вълновата функция и геометричната парадигма върху хилбертово пространство на теорията на категориите или логическият образ на последната под формата на теорията на институциите.

По-нататък предстои фундаментално-историческо осмисляне на числото (математическата структура) и броенето (времето). Ще се покаже, че математизирането на историята, произтича от вплитането на онтология във времето и далеч не е външен и по същество случаен процес, приумица на ексцентричен изследовател, какъвто облик му придаваше двуполюсната епистема. Обратният отблясък върху дисциплината на историята ще позволи да се открои нейният необходим, носещ понятиен скелет за обособяване на теоретичната история по посока на превръщането ѝ в крайна сметка в аксиоматизируема и следователно математическа дисциплина.

ЛИТЕРАТУРА:

Arbey, A. 2006. Dark Fluid: a complex scalar field to unify dark energy and dark matter. − http://arxiv.org/pdf/astro-ph/0601274 .

Aerts, D., S. Aerts, J. Broekart, L. Gabora. 2000. The violation of Bell Inequalities in the Macroworld. − http://cogprints.org/3416/1/bell.pdf .

Aydede, M. 1998. Aristotle on episteme and nous: the posterior analytics. – Southern Journal of Philosophy. Vol. 36, No 1, 15-46, http://faculty.arts.ubc.ca/maydede/Aristotle.pdf .

Aspect, A., R.Grangier, and G. Roger. 1981. Experimental tests of realistic local theories via Bell’s theorem. – Physical Review Letters. Vol. 47, № 7, 460-463.

Aspect, A., R.Grangier, and G. Roger. 1982. Experimental Realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedanken Experiment: A New Violation of Bell’s Inequalities. – Physical Review Letters. Vol. 49, № 2, 91-94.

Badiou, A. Le concept de modèle. Introduction à épistémologie matérialiste des mathématiques. Paris: François Maspero. (На английски: A. Badiou. The concept of model: an introduction to the materialist epistemology of mathematics. Melbourne: re.press, 2007.)

Badiou, A. 1988. L‘être et l‘événement. Paris: Seuil. (На английски: A. Badiou. Being and Event. London – New York: Continuum, 2005.)

Badiou, A. 1990. Le nombre et les nombres. Paris: Seuil. (На английски: А. Badiou. Number and Numbers. Cambridge, UK ­– Malden, MA: Polity Press, 2008.)

Banach, S., A. Tarski. 1924. Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes. − Fundamenta Mathematicae. Vol. 6, 244–277 ( http://
matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm6/fm6127.pdf ).

Barbour, J., H. Pfister (eds.). 1995. Mach’s Principle. Boston – Basel – Berlin: Birkhäuser.

Bartlett, M. 1945. Negative Probability. – Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Vol. 41, No 1 (June 1945), 71-73 .

Bueno, J., M. Coniglio, W. Carnielli. 2004. Finite algebraizability via possible-translations semantics. ­­­­­­­­­­– In: Proceedings of CombLog’04. Workshop on Combination of Logics: Theory and Applications, Lisbon, July 2004 (W. Carnielli, F. M. Dionísio, P. Mateus, eds.) Lisboa : Instituto Superior Técnico, Departamento de Matemática: (http://sqig.math.ist.utl.pt/
pub/MateusP/04-CDM-comblog.pdf ), 79-85.

Bell, J. 1964. On the Einstein ‒ Podolsky ‒ Rosen paradox. ‒ Physics (New York), 1, 195-200; http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/QM/bell_physics_1_195_64
.pdf . (Bell, J. Speakable and unspeakable in quantum mechanics: collected papers in quantum mechanics. Cambridge: University Press, 1987, 14-21).

Bell, J. 1966. On the Problem of Hidden Variables in Quantum Mechanics. ‒ Reviews of Modern Physics. Vol. 38, No 3 (July), 447-452; http://www.physics.prince
ton.edu/~mcdonald/examples/QM/bell_rmp_38_447_66.pdf . (Bell, J. Speakable and unspeakable in quantum mechanics: collected papers in quantum mechanics. Cambridge: University Press, 1987, 1-13.)

Bohr, N. 1935. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete? – Physical Review. Vol. 48 (15 Oct 1935), 696-702 (Н. Бор. 1936. Можно ли считать, что квантово-механическое описание физической реальности является полным? – Успехи физических наук. T. XVI, № 4, 446-457 – http://ufn.ru/ufn36/
ufn36_4/Russian/r364_b.pdf ).

Boltzmann, L. 1995. Lectures on gas theory. New York: Courier Dover Publications. (books.google.com ). [L. Boltzmann. Vorlesungen über Gastheorie. 1. Teil. Theorie der Gase mit einatomigen Molekülen, deren Dimensionen gegen die mittlere Weglänge verschwinden. (2. unveränderter Abdruck). Leipzig: J. A. Barth. 1910]

Bokulich, A., G. Jaeger (eds.). 2010. Philosophy of Quantum Information and Entanglement. New York ­– Cambridge: Cambridge University Press (books.google.com ).

Born, M. 1926. Zur Quantenmechanik der Stoβvorgänge. ‒ Zeitschrift für Physik. Bd. 37, S. 863-867 – http://www.hep.princeton.edu/~mcdonald/examples/QM/born_zp_37_863_26.pdf  (Quantenmechanik der Stoβvorgänge) Bd. 38, S. 803-827.

Born, M. 1927. Das Adiabatenprinzip in der Quantenmechanik. – Zeitschrift für Physik. Bd. 40, 3-4, 167-192.

Born, M. 1927. Physical aspects of quantum mechanics. – Nature.  Vol. 119 (5 March 1927), 354-357.

Born, M. 1954. The statistical interpretation of quantum mechanics (Nobel Lecture, December 11, 1954). ‒ http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1954/born-lecture.pdf .

Born, M, V. Fock. 1928. Beweis der Adiabatensatzes. ‒ Zeitschrift für Physik. Bd. 51,
No 3-4, 165-180.

Bratteli, O., D. Robinson. 1979. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1. C*- and W*-Algebras. Symmetry Groups. Decomposition of States. New York ‒ Heidelberg ‒ Berlin: Springer Verlag. (Браттели, У., Д. Робинсон. 1982. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. C*- и W*-алгебри. Группы симметрии. Разложение состояний. Москва: «Мир».)

Cantor, G. 1932. Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reichen. − In: Georg Cantor gesammelte Abhandlungen: mathematischen und philosopophischen Inahalts mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor – Dedekind. Berlin: Julius Springer, 92-102. (На руски: Г. Кантор. Труды по теории множеств. Москва: Наука, 9-18.)

Cantor, G. 1932. Beitrage zur Begründung der transfiniten Mengenlehre − In: Georg Cantor gesammelte Abhandlungen: mathematischen und philosopophischen Inahalts mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor – Dedekind. Berlin: Julius Springer, 282-356. (На английски: G. Cantor. Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. New York: Dover Publications, 1954, на руски: Г. Кантор. Труды по теории множеств. Москва: Наука, 173-245)

Caponigro, M. Interpretations of Quantum Mechanics:  a critical survey. −  http://philsci-archive.pitt.edu/4340/1/ob.pdf .

Cattaneo, G., M. Chiara, R. Giuntini, F. Paoli. 2009. Quantum Logic and Nonclassical Logics. – In: Handbook of Quantum Logic and Quantum Structures. Quantum Logic (eds. K. Engesser, D. Gabbay, D. Lenmann). Amsterdam, ets.: Elsevier, 127-226.

Christian, J. 2010. Disproofs of Bell, GHZ, and Hardy Type Theorems and the Illusion of Entanglement. − http://arxiv.org/pdf/0904.4259v4 .

Clauser, J., M. Horne. 1974. Experimental consequences of objective local theories. ‒ Physical Review D, Vol. 10, 526-535.

Connes, A. 1994. Noncommutative geometry. San Diego: Academic Press (http://www.alainconnes.org/docs/book94bigpdf.pdf ).

Conway, J., S. Kochen. 2006. The Free Will Theorem. ‒  http://arxiv.org/abs/quant-ph/
0604079v1 .

Conway, J., S. Kochen. 2008. The Strong Free Will Theorem. – http://arxiv.org/abs/
0807.3286v1 .

Cox, R. 1946. Probability, Frequency and Reasonable Expectation. – American Journal of Physics. Vol. 14, No 1, 1-13. − http://www.its.caltech.edu/~jimbeck/summerlectures/
references/ProbabilityFrequencyReasonableExpectation.pdf .

Cox, R. 1961. The algebra of Probable Inference. Baltimore: John Hopkins University Press. − http://www.yaroslavvb.com/papers/cox-algebra.pdf .

Cook, S. 1971. The complexity of theorem proving procedures. – Proceedings of the third Annual ACM Symposium on Theory of Computing. New York: ACM 151-158. (S. Cook. The P versus NP Problem − http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/Official_Problem
_Description.pdf ; L. Fortnow. The status of the P versus NP problem − http://people.cs.
uchicago.edu/~fortnow/papers/pnp-cacm.pdf .)

Crivelli, P. 2004. Aristotle on Truth. Cambridge: University Press.

Cuperberg, G. 2007. An introduction to quantum probability, quantum mechanics, and quantum computation. – http://www.math.ucdavis.edu/~greg/intro.pdf .

Derrida, J. 1972. Marges de la philosophie. Paris: Minuit. (На английски: J. Derrida. Margins of Philosophie. Brighton, Sussex: The Harvester Press, 1982.)

Derrida, J. 1987. De l‘esprit. Heidegger et la question. Paris: Galilée. (На английски: Of Spirit. Heidegger and the question. Chicago ­– London: The University of Chicago Press, 1991)

DeWitt, B, J. Wheeler (eds.). 1967. The Everett-Wheeler Interpretation of Quantum Mechanics. Battelle Rencontres: 1967 Lectures in Mathematics and Physics. New York: W.A.Benjamin, 1968.

Dimitrov, A. 1998. Virtual information systems. – Integrative Psychological and Behavioral Science. Vol. 33, No 1, 41-48.

Deleuze, J., F. Guattari. 1972-1973. Capitalisme et schizoprénie. L‘Anti Œdip. Paris: Minuit. (На английски: J. Deleuze, F. Guatattri. Anti-Oedip. Capitalism and Schizofrenia. Mineapolis: University of Minnesota Press, 2000.)

Deleuze, J., F. Guattari. 1980. Capitalisme et schizoprénie. Mille Plateaux. Paris: Minuit. (J. Deleuze, F. Guattary. A Thousand Plateaus: Capitalism and Schizofrenia. Mineapolis – London: University of Minnesota Press, 2005).

Dirac, P. 1942. Bakerian Lecture. The Physical Interpretation of Quantum Mechanics. –Proceedings of the Royal Society of London, A, vol. 180 (980; March 18 1942), 1-40, http://rspa. royalsocietypublishing.org/content/180/980/1.full.pdf+html .

Dirac, P. 1958. Principles of Quantum mechanics (forth edition). Oxford, New York: Oxford University Press (reprinted 2004).

Donkel, D. 1992. The Understanding of Difference in Heidegger and Derrida. New York: Peter Lang.

Durand, B., A. Zvonkin. 2007. Kolmogorov complexity. – In: Kolmogorov’s Heritage in Mathematics (eds. E. Charpentier, A. Lesne, N. Nikolski). Berlin – Heidelberg – New York: Springer, 281-299.

Gödel, K. 1930. Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. –  Monatshefte der Mathematik und Physik.  Bd. 37, No 1 (December, 1930), 349-360 (Bilingual German ‒ English edition: K. Gödel. The completeness of the axioms of the functional calculus of logic. ‒ In: K. Gödel. Collected Works. Vol. I. Publications 1929 – 1936. Oxford: University Press, New York: Clarendon Press ‒ Oxford, 1986, 103-123.)

Gödel, K. 1931. Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme I. ‒ Monatshefte der Mathematik und Physik. Bd. 38, No 1 (December, 1931), 173-198. (Bilingual German ‒ English edition: K. Gödel. The formally undecidable propositions of Principia mathematica  and related systems I. ‒ In: K. Gödel. Collected Works. Vol. I. Publications 1929 – 1936. Oxford: University Press, New York: Clarendon Press ‒ Oxford, 1986, 144-195.)

Eco, U. 1989. Im Labyrinth der Vernunft. Texte über Kunst und Zeichen. Leipzig: Philipp Reclam.

Einstein, A. 1905. Zur Elektrodynamik bewegter Körper. – Annalen der Physik. Bd. 17, No 10, 891-921. – http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905
_17_891-921.pdf .

Einstein, A. 1905. Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt. – Annalen der Physik. Bd. 17, No 6, 132–148. – http://www.
physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905_17_132-148.pdf.

Einstein, A. 1916. Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. ­– Annalen der Physik. Vierte Folge. Band 49, No 7, 769-822. (http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html )

Einstein, A. 1918. Prinziplelles zur allgemeinen Relativitätstheorie. – Annnalen der
Physik. Bd. 55, № 4, 241-244. – http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/
history/einstein-papers/1918_55_241-244.pdf .

Einstein, A., B. Podolsky, N. Rosen. 1935. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? ‒ Physical Review, 1935, 47, 777-780; http://www.phys.uu.nl/~stiefelh/epr_latex.pdf . (А. Эйнштейн, Б. Подолски, Н. Розен. 1936. Можно ли считать, что квантово-механическое описание физической реальности является полным? – Успехи физических наук. T. XVI, № 4, 440-446 – http://ufn.ru/ufn36/ufn36_4/Russian/r364_b.pdf .)

Elden, S. 2006. Speaking Against Number. Heidegger, Language and the Politics of Calculation. Edinburgh: University Press.

Epperson, M. 2004. Quantum Mechanics and the Philosophy of Alfred North Whitehead. New York: Fordham University Press.

Everett III, H. 1957. „Relative state” Formulation of Quantum Mechanics. – Reviews of Modern Physics. Vol. 29, No 3 (July 1957), 454-462.  – http://www.univer.omsk.su/
omsk/Sci/Everett/paper1957.html .

Favrholdt, D. 1992. Niels Bohr’s Philosophical Background. Copenhagen: Munksgaard.

Faye. J.  1991. Niels Bohr: His Heritage and Legacy. Dordrecht – Boston − London: Kluwer Academic Publishers.

Faye, J. H. Folse. 1994. Niels Bohr and contemporary philosophy. Dordrecht − Boston: Kluwer Academic Publishers .

Foucault, M. 1966. Les mots et les choses. Une archéologie des sciences humaines. Paris: Gallimard. (На английски: M. Foucault. Order of Things. An archaeology of the human sciences. London – New York: Routledge.)

Feferman, S. Predicativity. − http://math.stanford.edu/~feferman/papers/predicativity.pdf .

Feynman, R. 1996. Feynmann Lectures oh Computation. Reading, Mass: Addison­-Wesley.

de Finetti, B.  1937. La prévision: ses lois logiques, ses sources subjectives. – Annales de l’Institut Henri Poincaré , tome 7, n^o 1, 1-68 (http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AIHP/
AIHP_1937__7_1/AIHP_1937__7_1_1_0/AIHP_1937__7_1_1_0.pdf ). Английски превод: Studies in Subjective Probability (eds.: H. Kyburg, H. Smokler). New York-London: Wiley, 1964, 95-158. Или в: Breakthroughs in Statistics: Foundations and basic theory (eds. S. Kotz, N. Johnson). Berlin – New York: Springer, 1992, 134-174 (за съжаление само първите четири глави). (Един обзор на неговите възгледи относно субективната вероятност се съдържа в: http://www.csee.wvu.edu/~xinl/papers/sub_obj.pdf .)

Gadamer, H.-G. 1960. Wahrheit un Methode. Grundzüge der philosophischen Hermeneutik. Tübingen: Mohr.

Gadamer, H.-G. 1979. Das hermeneutische Problem der Anwendung. – In: Seminar: Philosophische Hermeneutik (H.-G. Gadamer, G. Boehm, Hrsg.). Frankfurt am Main: Suhrkamp, 327-332.

Gadamer, H.-G. 1979. Die philosophischen Grundlagen des 20. Jahrhunderts. − In: Seminar: Philosophische Hermeneutik (H.-G. Gadamer, G. Boehm, Hrsg.). Frankfurt am Main: Suhrkamp, 316-326.

Gamow, G. 1970. My World Line. An Informal Autobiography. New York: The Viking Press.

Gentzen, G. 1935. Untersuchungen über das logische Schließen. I., II. – Mathematische Zeitschrift. Band 39, 176-210, 405-431, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN
266833020_0039 . (G. Gentzen. The Collected Papers of Gerhard Gentzen (ed. M. Szabo). Amsterdam-London: North Holland Publishing Company, 1969, 68-131).

Gentzen, G. 1969. The Collected Papers of Gerhard Gentzen (ed. M. Szabo). Amsterdam-London: North Holland Publishing Company.

di Gianantonio, P. Structures for multiplicative cyclic linear logic: deepness vs cyclicity. − http://sole.dimi.uniud.it/~pietro.digianantonio/papers/copy_pdf/smcll.pdf  (P. di Gianantonio. Structures in cyclic linear logic http://users.dimi.uniud.it/~pietro.digianantonio/papers/
copy_pdf/scll.pdf )

Gibbs, J. 1902. Elementary Principles of Statistical Mechanics. New York: Charls Scrib-ner’s Sons, London: Edward Arnold.

Gillies, D. 2000. Philosophical Theories of Probability. London – New York: Routledge http:
//en.calameo.com/read/0003653902e31290ae469 .

Girard, J.-Y. 1987. Linear logic. – Theoretical Computer Science. Vol. 50, No 1, 1-102 (http://iml.univ-mrs.fr/~girard/linear.pdf ).

Girard, J.-Y. 1995. Linear Logic: its syntax and semantics. – In: Advances in Linear Logic (J.-Y. Girard, Y. Lafont, L. Regnier, eds.) Cambridge: University Press, 1-42.

Goguen, J. T. Mossakowski, V. de Paiva. F. Rabe. L. Schröder. 2007. An Institutional View on Categorical Logic. ­­­– International Journal of Software and Informatics, Vol.1, No. 1 (December 2007), 129-152 (http://www.ijsi.org/IJSI/1673-7288/1/129.pdf ).

Gudder, S. 1988. Quantum probability. Boston : Academic Press.

Hald, A. 2003. A history of probability and statistics and their applications before 1750. Hoboken, N.J.: Wiley-IEEE.

Hamkins, J., A. Lewis. 2000. Infinite Time Turing Machines. – The Journal of Symbolic Logic. Vol. 65, No 2 (June, 2000), 567-604. − http://arxiv.org/pdf/math/9808093 .

Hanna, R. 2006. Rationality and logic. Cambridge, Mass.: MIT Press

Heidegger, M. 1977. Sein und Zeit. Frankfurt am Main: Vittorio Klostermann (Gesamtausgabe, Band 2).

Heidegger, M. 1976. Logik. Die Frage der Wahrheit. Frankfurt am Main: Vittorio Klostermann (Gesamtausgabe, Band 21).

Heidegger, M. 1976. Wegmarken. Frankfurt am Main: Vittorio Klostremann (Gesamtausgabe, Bd. 9) (На английски: M. Heidegger. Pathmarks. Cambridge: University Press, 1998.) [М. Хайдегер. За същността и понятието за Φύσις. Аристотел, Физика, B, 1. – Философски форум, 1998 (4), 23-64.]

Heidegger, M. 1981. Erläuterungen zu Hölderlins Dichtung. Frankfurt am Main: Vittorio Klostermann (Gesamtausgabe, Bd. 4).

Heidegger, M. 2000. Vorträge und Aufsätze. Frankfurt am Main: Vittorio Klostermann (Gesamtausgabe, Band 7). (Die Drage nach der Technik. )

Heidegger, M. 2001. Sein und Wahrheit. 1. Die Grundfrage der Philosophie. 2. Vom Wesen der Wahrheit. Frankfurt am Main: Vittorio Klostermann (Gesamtausgabe, Band 36/37).

Heidegger, M. 2006. Identität und Differenz. Frankfurt am Main: Vittorio Klostermann (Gesamtausgabe, Bd. 11).

Hermann, A. 2004. To think like God: Pythagoras and Parmenides, the origins of philosophy. Las Vegas: Parmenides Publishing.

Hermann, G. 1935. The circularity in von Neumann's proof. (Translation by Michiel Seevinck of "Der Zirkel in NEUMANNs Beweis", section 7 from the essay by Grete Hermann, Die Naturphilosophischen Grundlagen de Quantenmechanik. Abhandlungen der fries'schen Schule, 6, 1935 ‒ http://www.phys.uu.nl/igg/seevinck/trans.pdf ).

Hilbert, D. 1903. Grundlagen der Geometrie. Leipzig: B.G. Teubner (http://ia700201.us.archive.org/3/items/grunddergeovon00hilbrich/grunddergeovon00hilbrich.pdf ; in English, http://www.gutenberg.org/files/17384/17384-pdf.pdf )

Hilbert, D. 1900. Mathematische Probleme. (Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreβ zu Paris 1900. − http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/
~kersten/hilbert/rede.html (http://www.math.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.pdf; http://wikilivres.info/wiki/Mathematische_Probleme; in English: http://www.ams.org/
journals/bull/1902-08-10/S0002-9904-1902-00923-3/S0002-9904-1902-00923-3.pdf ).

Hilbert, D., P. Bernays. 1968. Grundlagen der Mathematik. Berlin – Heidelberg – New York: Springer (http://www.ags.uni-sb.de/~cp/p/hilbertbernays/demobilingual.pdf ).

Hungerford, T. 1996. Algebra. New York: Springer. (books.google.com ).

Husserl, E. 1973. Cartesianische Mediationen und Pariser Vorträge. Haag: Martinus Nijhoff (Husserliana Bd. 1).

Husserl, E. 1976. Die Krisis der europäischen Wissenschaften und die transzendentale Phänomenologie. Eine Einleitung in die phänomenologishe philosophie. Haag: Martinus Nijhoff (Husseriana, Bd VI). (На английски: E.Husserl. The Crisis of European Sciences and Transcendental Phenomenology. An Introduction to Phenomenological Philosophy. Evanston: Northwestern University Press, 1970.)

Husserl, E. 1976. Ideen zu einer reinen Phänomenologie und phänomenologischen Philosophie. Erstes Buch. Allgemeine Einfürung in die reine Phänomenologie (1-2 Halbband). Der Haag: Martinus Nijhoff (Husseriana, Bd III/1-2).

Hylland, D., J. Manoussakis (eds.). 2006. Heidegger and the Greeks. Bloomington, IN − Indianapolis: Indiana University Press.

Jaynes, E. 1965. Gibbs vs Boltzmann entropies. ­– American Journal of Physics. Vol. 33, No 5, 391-398 (http://bayes.wustl.edu/etj/articles/gibbs.vs.boltzmann.pdf ).

Kahn, C. 2001. Phytagoras and the Pythagoreans. A Brief History. Indianapolis ­– Cambridge: Hackett.

Kashlinsky, A., F. Atrio-Barandela, D. Kocevski, H. Ebeling. 2008. A measurement of large-scale peculiar velocities of clusters of galaxies: results and cosmological implications. − Astrophysical Journal. Vol. 686 (2008 October 20) , L49-L52 (http://iopscience.iop.org/
1538-4357/686/2/L49/pdf/1538-4357_686_2_L49.pdf ).

Kochen, S., E. Specker. 1967. The problem of hidden variables in quantum mechanics. – Physical Review A. Vol. 17, № 1, 59-87;  http://www.hep.princeton.edu/~mcdonald/
examples/QM/kochen_iumj_17_59_68.pdf .

Kolmogorov, A. 1933. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin: Springer. (На руски: А. Колмогоров. 1936. Основные понятия теории вероятностей. Москва: ГНТИ. На английски: A. Kolmogorov. 1950. Foundations of the theory of probability. New York: Chelsea. − http://clrc.rhul.ac.uk/resources/fop/Theory%20of%20Probability%20
(small).pdf . История и коментари: G. Shafer, V. Volk. The origins and legacy of Kolmogorov’s Grundbegriffe − http://www.probabilityandfinance.com/articles/04.pdf )

Konopleva, N. 2006. Relativistic physics and geometry. – Gravitation and Cosmology. Vol. 12, No 2-3 (46-47), 186-190. − http://rgs.vniims.ru/full/2006-186.pdf .

Latour, B. 1991. Nous n'm'ons jamais été modernes, Essai d'anthropologie symétrique. Paris: La Découverte. (На английски: B. Latour. We Have Never Been Modern. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1993. На руски: Б. Латур. Нового Времени не было. Эссе по симметричной антропологии. Санкт-Петербург: Издательство Европейского университета в С.-Петербурге, 2006.)

Laplace, M. le comte. 1816. Essai philosophique sur les probabilitiés. Paris: Courcier. (books.google.com) ; на английски: P. Laplace. A philosophical essay on probabilities. New York: John Wiley&Sons; London: Chapman & Hall, 1902. – http://ia700106.us.archive.org/
10/items/philosophicaless00lapliala/philosophicaless00lapliala.pdf ; на руски: П.С. Лаплас. Опыт философии теории вероятностей. Москва: Книжный дом „ЛИБРОКОМ“, 2011.

Lévinas, E. 1988. Totalité et infini: essai sur l’extériorité. Dordrecht – Boston – London: Kluwer. (На аглийски: E. Levinas. Totality and Infinity. An Essay on Exteriority. The Hague – Boston – London: Martinus Nijhoff, 1979; на руски: Э. Левинас. Избранное: Тотальность и бесконечное. Москва − Санкт-Петербург: Университетская книга, 2000).

Lee, J.-W., J. Lee, H.-C. Kim. 2007. Dark energy from vacuum entanglement. – Journal of Cosmology and Astrparticle Physics. Vol. 2007, No 8 (August), http://arxiv.org/pdf/hep-th/0701199 .

Li, M., P. Vitányi. 2008. An Introduction to Kolmogorov Complexity and Its Applications. New York: Springer.

Löb, M. 1955. Solution of a problem of Leon Henkin. ‒ The Journal of Symbolic Logic. Vol. 20, No 2, 115-118.

Long, C. 2011. Aristotle on the Nature of Truth. Cambridge: University Press.

Martin-Löf, P. 1966. The Definition of Random Sequences. – Information and Control. Vol. 9, No 6, 602-619.

Martin-Löf, P. 1966. Algorithmen and zufälige Folgen. Erlangen: Mathematischen Institut der Universität Erlangen-Nürnberg.

Martin-Löf, P. 1971. Haupsatz for the intuitionistic theory of iterated inductive definitions. – In: Proceedings of the Second Scandinavian Logic Symposium (ed. J. Fenstad) (Studies in Logic and the Foundations of mathematics, vol. 63). Amsterdam – London: Noth-Holland Publishing Company, 179-216.

Martin-Löf, P. 1971. Haupsatz for the theory of species. – In: Proceedings of the Second Scandinavian Logic Symposium (ed. J. Fenstad) (Studies in Logic and the Foundations of mathematics, vol. 63). Amsterdam – London: Noth-Holland Publishing Company, 217-233.

Martin-Löf, P. 1984. Intuitionistic Type Theory. Napoli: Bibliopolis.

McEvoy, P. 2001. Niels Bohr: Reflections on Subject and Object. San Francisco: MicroAnalytix.

McKincey, J., A. Sugar, P. Suppes. 1953. Axiomatic Foundations of Classical Particle Mechanics. – Journal of Rational Mechanics and Analysis. Vol. 2, No 2, 353-272.

McMahon, D. 2009. String Theory Demystified. New York: McGraw Hill.

Meyer, P. 1993. Quantum probability for probabilists. Berlin – New York : Springer.

Michelson, A. 1881. The Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether. – American Journal of Science. Vol. 22 (July to December, 1981, 120-129.  (http://en.wikisource.org/wiki/The_Relative_Motion_of_the_Earth_and_the_Luminiferous_Ether ).

Michelson, A., E. Morley. 1887. The Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether. − American Journal of Science. Vol. 34 (203 − November, 1987) 333-345. (http://en.wikisource.org/wiki/On_the_Relative_Motion_of_the_Earth_and_the_Luminiferous_Ether .)

Mossakowski, T., J. Goguen, R. Diaconesku, A. Tarlecki. 2007. What is a Logic? – In: Logica Universalis (ed. J.-Y.Beziau). Basel: Birkhäuser, 111-133. (http://cseweb.ucsd.edu/
~goguen/pps/nel05.pdf .)

Mossakowski, T., R. Diaconesku, A. Tarlecki. 2009. What is a Logic Translation? – Logica univeraslis. Vol. 3, No 1, 95-124. (http://www.informatik.uni-bremen.de/~till/papers/
mor.pdf .)

v. Neumann, J. 1923. Zur Einführung der transfiniten Zahlen. ­­– Acta Szeged 1, 199-208. http://bbi-math.narod.ru/newmann/newmann.html ; на руски: http://bbi-math.narod.ru/
newmann/newmannrus.html .  (J. von Neumann. Collected works. Vol. 1. Logic, set theory, and quantum mechanics. New York: Pergamon Press, 1961, 24­­–33.)

v. Neumann, J. 1928. Über die Definitionen durch transfinite Induktion, und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre. – Mathematische Annalen. Band 99, 373­–391. (http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002272407 ) (J. von Neumann. Collected works. Vol. 1. Logic, set theory, and quantum mechanics. New York: Pergamon Press, 1961, 320­­–338.)

v. Neumann, J. 1929. Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren. ‒ Mathеmatische Annalen. Vol. 102, No 1, 370–427.

v. Neumann, J. 1932. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Berlin: Verlag von Julius Springer. (J. von Neumann. 1955. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Princeton: University Press; Й. фон Нейман. 1964. Математические основы квантовой механики. Москва: „Наука”.)

v. Neumann, J. 1936. On a Certain Topology for Rings of Operators. ‒ The Annals of Mathematics 2nd Ser. Vol. 37, No 1, 111–115.

v. Neumann, J. 1938. On infinite direct products. ‒ Compositio Mathematica. Vol. 6, 1–77, http://www.numdam.org/item?id=CM_1939__6__1_0.

v. Neumann, J. 1940. On rings of operators III. ‒  The Annals of Mathematics 2nd Ser. Vol. 41, 94–161

v. Neumann, J. 1943. On Some Algebraical Properties of Operator Rings. ‒ The Annals of Mathematics 2nd Ser. Vol. 44, No 4, 709–715.

v. Neumann, J. 1949. On Rings of Operators. Reduction Theory. ‒ The Annals of Mathematics 2nd Ser. Vol. 50, No 2, 401–485.

Nielsen, M., I. Chuang. 2000. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge: University Press. 

Mattarese, S., M. Colpi, V. Gorini, U. Moschella (eds.). 2011. Dark Matter and Dark Energy. A Challenge for Modern Cosmology.  Dordreht – Heidelberg – London – New York: Springer.

O'Meara, D. 1990. Pythagoras Revived. Mathematics in the Late Antiquity. Oxford: Clarendon Press; New York: Oxford University Press.

Omnès, R. 1999. Quantum Philosophy. Understanding and Interpreting Contemporary Science. Princeton: University Press.

O'Raifeartaigh, L. 1997. The dawning of gauge theory. Princeton: University Press.

Pauli, W. 1930. The letter of the 4th of December 1930.  (http://www.
symmetrymagazine.org/cms/?pid=1000450 ).

Pauli, W. 1961. Zur älteren und neueren Geschichte des Neutrinos. ­­– In: W. Pauli. Aufsätze und Vorträge über Physik und Erkenntnistheorie (ed. V. F. Weissllcopf). Braunschweig: Vieweg, 156-180. (На английски: W. Pauli. Collected Scientific Papers (eds. R. Kronig and V. F. Weisskopf). New York: Wiley, Interscience, 1964, Vol. 2. 1313-1335; на руски: В. Паули. К старой и новой истории нейтрино. ­– В: Теоретическая физика XX в. Москва: Иностранная литература, 1962, 386-412.)

Peirce, C. 1984. Writings of Charles S. Peirce: a chronological edition. Volume 1. 1857-1866. Bloomington: Indiana University Press.

Penchev, V. 2010. Negative and Complex Probability in Quantum Information. − http://files.myopera.com/Vasil%20Penchev/anews/N5.pdf ; на български: http://files.my
opera.com/Vasil%20Penchev/anews/N4Bul1.pdf .

Popper, K. 2002. The Logic of Scientific Discovery. London – New York: Routledge.

Rabounski, D. 2006. New Effect of General Relativity: Thomson Dispersion of Light in Stars as a Machine Producing Stellar Energy. – Progress in Physics. Vol. 4, October, 3-10.

Ramsey, F. 1978. Foundations. Essays in Philosophy, Logic, Mathematic and Economics. London and Henley: Routledge & Kegan Paul.

Ramsey, F. 2001. The foundations of mathematics and other logical essays (ed. R. Braithwaite). London: Routledge.

Register, B.1997-12-01. Complementarity: Content, Context and Critique – http://enlighten
ment.supersaturated.com/essays/text/bryanregister/bohr_compliementarity.html.

Rieffel, M. 2004. Compact Quantum Metric Spaces. – In: Operator algebras, quantization, and noncommutative geometry: a centennial celebration honoring John von Neumann and Marshall H. Stone : AMS special session on operator algebras, quantization, and noncommutative geometry, a centennial celebration honoring John von Neumann and Marshall H. Stone, January 15-16, 2003, Baltimore, Maryland. Providence, R.I.: American

Mathematical Society. (books.google.com ), 315-330.

Robinson, A. 1966. Non-Standard analysis. Amsterdam: North-Holand.

Russell, B. 1907. On some Difficulties in the Theory of Transfinite Numbers and Order Types. – Proceedings London Mathematical Society. Vol. 4, No 1, 29-53. (B. Russell. Essays in analysis. New York: G. Brazilier, 1973, 135-164.)

Russell, B. 1908. Mathematical Logic as Based on the Theory of Types. – American Journal of Mathematics. Vol. 30, No 3 (Jul., 1908), 222-262 (http://www.cfh.ufsc.br/~dkrause/
pg/cursos/selecaoartigos/Russell(1905).pdf ; http://bbi-math.narod.ru/articles.html ).

Russell, B. 1993. Introduction to mathematical philosophy. New York: Dover.

Russell, B. 2010. Principles of Mathematics. London – New York: Routledge.

Sahni, V. 2004. Dark Matter and Dark Energy. − http://arxiv.org/pdf/astro-ph/0403324 .

Santaló, L. 2004. Integral geometry and geometric probability. Cambridge ­– New York: Cambridge University Press.

Shannon, C. 1948. A Mathematical Theory of Communication. – The Bell System Technical Journal. Vol. 27, 379–423 (July, 1948), 623–656 (October, 1948). – http://cm.bell-labs.com/cm/ms/what/shannonday/shannon1948.pdf .

Schrödinger, E. 1935. Die gegenwärtige situation in der Quantenmechanik. – Die Naturwissenschaften, Bd. 48, 807-812; Bd. 49, 823-828, Bd. 50, 844-849. (In English: http://www.tu-harburg.de/rzt/rzt/it/QM/cat.html; превод на руски: Шредингер, Э. 1971. Современное положение в квантовой механике. – В: Э. Шредингер. Новые путы в физике. Москва: „Наука”, 1971, 66-106.) (Философски коментар към статията на Шрьодингер: http://www.scribd.com/full/13326494?access_key=key-2a9h7wlu9
d55kd8s586x .)

Schrödinger, E. 1984. Gleichheit und Relativität der Freiheit. ‒ In: Gesammelte Ab-handlungen. B. 4. Allgemeinen wissenschaftlichen und populäre Aufsätze. Wien: Verlag der Österreichischen Akademie des Wissenschaften, Friedr. Vieweg&Sohn Brunschweig/ Wiesbaden, 356-358.

Schrödinger, E. 1984. Indeterminism and Free Will. ‒ In: Gesammelte Abhandlungen. B. 4. Allgemeinen wissenschaftlichen und populäre Aufsätze. Wien: Verlag der Österreichischen Akademie des Wissenschaften, Friedr. Vieweg&Sohn Brunschweig/ Wiesbaden, 356-358.

Segal, S. 2003. Mathematicians under the Nazis. Princeton: University Press.

Seidel, G. 1964. Martin Heidegger and the pre-Socratics: an introduction to his thought. Lincoln : University of Nebraska Press.

Skolem, T. 1970. Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre. ‒ In: T. Skolem. Selected works in logic (ed. E. Fenstad), Oslo, etc: Univforlaget, 137-152.

Solomon, H. 1978. Geometric probability. Philadelphyia: Society for Industrial and Apllied Mathematics.

Thiele, R. 2003. Hilbert’s Twenty-Forth Problem. – American Mathematical Monthly, January 2003, 1-24. (http://www.maa.org/news/Thiele.pdf )

Townsend, J. 2000. A modern approach to quantum mechanics. Sausalito, Calif.: University Science Books (books.google.com ).

Troelstra, A. 1992. Lectures on linear logic. Stanford, CA: Center for the Study of Language and Infornation.

Tsallis, C. 1988. Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics. – Journal of Statistical Physics. Vol. 52, No 1-2 (July, 1988), 479-487.

Turing, A. 1937. On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem. – Proceedings of London mathematical Society. Ser. 2. Vol. 42, No 1, 230-265, http://www.comlab.ox.ac.uk/activities/ieg/e-library/sources/tp2-ie.pdf . (A. Turing. Collected works. Mathematical Logic (eds. R. Gandy, C. Yates). Amsterdam, etc.: Elsevier, North-Holland, 2001, 18-53; А. Тюринг. The Essential Turing. Seminal Writings in Computing, Logic, Philosophy, Artificial Intelligence, and Artificial Life plus The Secrets of Enigma (ed. B. Copeland). Oxford: Clarendon Press, 2004, 58-90.)

Turing, A. 1948. Practical Forms of Type Theory. – Journal of Symbolic Logic. Vol. 13, No 2 (June, 1948), 80-94. (A. Turing. Collected works. Mathematical Logic (eds. R. Gandy, C. Yates). Amsterdam, etc.: Elsevier, North-Holland, 2001, 186-200.)

Turing, A. 2004. А. Тюринг. The Essential Turing. Seminal Writings in Computing, Logic, Philosophy, Artificial Intelligence, and Artificial Life plus The Secrets of Enigma (ed. B. Copeland). Oxford: Clarendon Press.

Uzan, J.-P. 2006. The acceleration of the universe and the physics behind it. − http://arxiv.org/pdf/astro-ph/0605313 .

Vitanyi, P. 2007. Algorithmic chaos and the incompressibility method. − In: Kolmogorov’s in Mathematics (eds. E. Charpentier, A. Lesne, N. Nikolski). Berlin – Heidelberg – New York: Springer, 301-317.

Vovk, V., G. Shaffer. 2003. Kolmogorov’s contributions to the foundations of probability. − http://www.probabilityandfinance.com/articles/06.pdf .

Welch, P. 2000. The Length of Infinite Time Turing Machine Computations. – Bulletin of the London Mathematical Society. Vol. 32, No 2 (March 2000), 129-256 (http://citeseerx.ist.psu.
edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.41.1318&rep=rep1&type=pdf ).

Whitehead, A. 1911. An Introduction to mathematics. New York: Nenry Holt, London: Williams and Norgate.

Whitehead, A. 1978. Process and Reality. An Essay in Cosmology. New Work: The Free Press – Macmillan.

Yetter, D. 1990. Quantales and (non-commutative) linear logic. – Journal of symbolic logic. Vol. 50, No 1 (March 1990), 41-64.

Аристотел. 1993. Никомахова етика (прев. Т. Ангелова). С.: ГАЛ-ИКО. (На английски: Aristotle. Nicomachean Ethics (transl. R. Crisp). Cambridge: University Press, 2004; Aristotle. The Nicomachean Ethics (transl. D. Ross, rev. L. Brown). Oxford: University Press, 2009.)

Звонкин, А., Л. Левин. 1970. Сложность конечных объектов и обоснование понятий информации и случайности с помощи теории алгоритмов. – Успехи математических наук. Т. XXV, вып. 6 (ноябрь – декабрь), 85-127.

Игнатов, А. 1999. Антропологическа философия на историята. За една философия на историята в постмодерната епоха. C.: „Факел“.

Колмогоров, А. 1965. Три подхода к определению „количество информации“. – Проблемы передачи информации. Т. I, вып. 1, 3-11.

Колмогоров, А. 1969. К логическим основам теории информации и теории вероятностей. – Проблемы передачи информации. Т. V. Вып. 3, 3-7.

Мамардашвили, М., А. Пятигорский. 1997. Символ и сознание. Метафизические рассуждения о сознании, символике и языке. Москва: Языки русской культурой (http://yanko.lib.ru/books/philosoph/mm-simvol_i_soznanie.pdf ; http://www.psylib.ukrweb
.net/books/mampg02/index.htm ).

Мартин-Лëф, П. 1966. О понятии случайной последовательности. – Теория вероятностей и ее применения. Т. XI, № 1, 198-200.

Морозов, А. 1992. Теория струн – что это такое? – Успехи физических наук. Том 162, № 8 (август 1992 г.), 83-175. − http://ufn.ru/ufn92/ufn92_8/Russian/r928c.pdf .

Николай Кузански. 1993. За ученото незнание. С.: Наука и изкуство.

Пенчев, В. 2005. Квантовият компютър: квантовите ординали и типовете алгоритмична неразрешимост. ‒ Философски алтернативи, № 6, 59-71.

Пенчев, В. 2008. Разумът в цивизилизацията. Към философско осмисляне на цивилизационния подход в историята. С.: ИФИ-БАН. (http://www.philosophybulgaria.org/
books/Penchev_RazumA5.pdf )

Пенчев, В. 2009. Философия на квантовата информация. Айнщайн и Гьодел. С.: ИФИ-БАН.

Пенчев, B. 2010. Неразрешимост на т. нар. първа теорема на Гьодел за непълнотата. – Философски алтернативи, 5, 104-119.

Петров, С. 1971. Логическите парадокси във философска интерпретация. С.: Наука и изкуство.

Суханов, А., Ю. Рудой. 2006. Об одной незамеченной идее Гибса (комментарии к главе IX его классической книги) – Успехи физических наук. Т. 176, № 5, 551-555.

Бележки:

{1} Може да се отбележи особения начин, по който де Финети въвежда субективна вероятност: като обзалагане между алтернативите за настъпване или не на дадено събитие (de Finetti 1937: 27-28). По същество е пак субективна вероятност, но заедно с това може да се тълкува като математическото очакване на печалбата от разминаване на субективната (в съотношението между алтернативите при облога) и обективната вероятност. Ако съвпадат, очакването ще е единица.

{2} Доколкото сам Бадиу пише: „Това, че тезата: онтология = математика е метаонтологична, изключва, че тя е математическа, това ще рече – онтологична“ (Badiou 1988: 20). Да подчертаем, че самият тезис „онтология = математика“ е мета-онтологичен, следвайки Бадиу. В нашето разглеждане, в което тоталността е неминуемо циклично да се отнесе към самата себе си, мета-онтологията трябва да съвпадне с онтологията и оттук самата математика се оказва мета-онтология по ограничаващ и следователно евристичен начин.

{3} В тази връзка, т.е. в контекста на Хайдегер и Числото следва да се отбележи една изключително оригиналната идея: че „схващането на това опредeление на света – тоест да е, следва да е изчислим – е полезно в разбирането на модерното понятие за ‘политическо’ като едно цяло, не социологически, епмпирично или онтично, а онтологически“(Elden 2006: 3). Освен това съществено за нас е изследването на онова, „което Хайдегер може да ни каже относно историческата онтология на геометрията, математиката на пространството“ (пак там :2).

{4} Например в следния текст (Seidel 1964), посветен тъкмо на предсократиците и Хайдегер, или в сборника (Hyland, Manoussakis, eds. 2006) за Хайдегер и Гърците, питагорейците и Питагор не са споменати нито веднъж.

{5} Начините за въвеждане на вероятност, разбира се, са повече от три, още повече че трябва да се разграничи математическата дефиниция от нейната интерпретация. Един обширен обзор представлява Gillies 2000. Те обаче могат да се приемат за три в нашия контекст, насочен към съпоставяне на двуполюсната епистема и нейно преобразуване от питагорейски тип.

{6} Да се цитира „антилогоцентричния“ Дерида е намерение, допустимо по отношение на него само шеговито, за да израсне от бегла ирония на метафората все пак то самото: „Философията винаги е държала на това: да се мисли неговото друго [на философския дискурс]. Неговото друго: това, което я ограничава и което издига в негова същност, свое определение, свой продукт“ (Derrida 1972: I). „Това имплицира преградата в изящна, отличаваща се структура, чиито отвори винаги могат да останат неоткриваеми, входът и изходът − едва-едва проходими; и че текстът – този на Хегел например – функционира като пищеша машина, в която определен брой печатани и систематично навързвани пропозиции (трябва да могат да се разпознават и отделя̀т) представят „съзнателното намерение“ на автора като читател на своя „собствен“ текст в смисъл, в който днес се говори за механичен читател“ (Derrida 1972: II). „Впрочем, ако те изглежда заемат полето [бялото поле на страницата] на някои велики текстове от историята на философията, тези десет произведения в действителност поставят въпроса за полето. Разяждайки границата за този въпрос в частен случай, те трябва да размият линията, която отделя един текст от неговото подконтролно поле. Те запитват философията отвъд нейното искане-да-каже, не третирайки я само като дискурс: а като определен текст, вписан в общ текст, обкръжен в представянето от свое собствено поле“ (Derrida 1972: XVIII-XIX).

{7} Важността, която е придавал Бор на тези символи, личи от факта, че ги избира за свой герб, заедно с девиза “Contraria sunt complementa”  [“Противоположностите са допълнителни”], когато е награден с най-високото датско отличие „Ордена на слона“ (орден, чийто глава е датският монарх). Напр. в: Faye, Folse 1994: 147-148, 286.

{8} Степента и начинът на влияние на възгледите на Киркегор върху философските, методологични и физични концепции на Нилс Бор са дискусионни и оценките варират от „решаващо” до „несъществено”: B. Register. (1997-12-01) Complementarity: Content, Context and Critique  – http://enlightenment.supersaturated.com/essays/text/bryanregister/bohr_compliementarity.html; D. Favrholdt. 1992. Niels Bohr’s Philosophical Background. Copenhagen: Munksgaard, 42-63; J. Faye. 1991. Niels Bohr: His Heritage and Legacy. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers .

{9} По-подробно: Пенчев 2009: 100-107.

{10} За нас, разбира се, е особено важна некомутативната линейност в духа на квантовата механика, каквато се постулира в „линейната логика“ (Girard 1987 ; Girard 1995; Troelstra 1992).

{11} Бихме искали да обърнем специално внимание именно в нашия контекст на подхода на Алън Тюринг към теорията на типовете (Turing 1948) и по-точно на въвеждането на вложени (nested) и латентни (concealed) типове и на допустими (admisable) пропозиции. „Формулите в системите с латентни типове ще бъдат описани като „допустими формули“, за да ги разграничим от системите с вложени типове. Допустимите формули ще бъдат в действителност включени сред интерпретируемите формули, асоциирани с вложения тип системи. Ще има формули с допустими термини (ATF) и формули с допустими пропозиции (APF). Ние определяме APF, ATF и доказуема формула чрез едновременна индукция. Следователно няма правило да се определи дали един израз е допустима формула или не: това не е обичайно в логически системи, но изглежда няма добро основание за позитивно табу към такава договорка” (Turing 1948: 92-92). Всъщност това е почти точен аналог в теорията на типовете на онова, което в този текст е обозначено като „дуално обосноваване на математиката“: „почти“ понеже в подхода на Тюринг отсъства изискването за идемпотентност на системи с вложени и с латентни типове, респ. на доказуеми формули в системата с вложени типове и на допустими формули всистемата в латентни типове. Аналогично на дуалното (само)-обосноваване на математиката можем да изкажем хипотезата, че така, т.е. по тюринговски обобщена, теорията на типовете може да (само)-обоснове цялата математика. По друг начин аналогична на нашия подход и чрез него на този на Тюринг е предложената от Мартин-Льоф (Martin-Löf 1984) интуиционистка теория на типовете, базирана върху „формулите-като-типове (пропозициите-като-множества) интерпретация“ (Martin-Löf 1984: 13). Цялото наше изложение е насочено да покаже, че такава позиция, чрез наречения от нас „особен“ елемент на множество позволява зацикляне и така превръщане в тоталност. Това в частност позволява изтъкнатото от Мартин-Льоф предимство (Martin-Löf 1984: 2): да се работи  с „категорията от всички множества“, „да се образува декартово произведение на всяко дадено семейство от множества“ и  в крайна сметка да „е свободна от недостатъчността на Ръселовата разклонена [ramified] теория на типовете“.

{12} Всъщност като аксиома Кантор предлага следното твърдение: „Обаче за да стане завършена връзката на областта на дефинираните в § 1 числови величини с геометрията на правата линия, сега се добавя още една аксиома, която се състои просто в това, че също и обратно, на всяка числова величина съответства определена точка на правата, чиято координата е тази числова величина … Наричам това твърдение аксиома, понеже в неговата природа е изобщо да не е доказуемо“ (Cantor 1932 : 97). С други думи се постулира взаимно еднозначно съответствие между реалните числа и точките на правата линия. От нея и от начина на въвеждане на реалните числа в същата статия чрез редици, сходящи по Коши (Cantor 1932: 92-93), следва горното твърдение, наричано понякога в литературата аксиома на непрекъснатостта на Кантор. Близко е до ума, че самият Кантор го е форумилирал някъде в своите работи като следствие или като еквивалентна на цитираната аксиома, но не съм успял да го открия. Ръсел е този, който разглежда подхода на Кантор в много широк логико-математически и философски контекст и във връзка с по-късните работи на Кантор за определяне на непрекъснатостта чрез ординални числа (Russell 2010: 285-306).

{13} Отделен въпрос е как това се съотнася с аксиомите на Пеано, дали тъкмо те не изискват безкрайността, ако се въведе актуално, да се отъждестви с единицата (респ. нулата), т.е. с постулирания най-малък елемент. Освен тово може да се добави, че самата аксиоматика на Пеано за елементарната аритметика има несобствена интерпретация, върху множество с наистина безкраен брой елементи, но краен брой различни елементи. Напълно достатъчно е вместо обичайната, подразбираща се, „собствена” релация на еквивалентност, да вземем като такава равенството по остатък при деление на естествените числа с фиксирано за дадената интерпретация произволно естествено число n≥2 (Пенчев 2009: 315).

{14} Тезата, че „реалността е числова“ и това следва от квантовата механика и нейната фундаментална позиция по отношение на познанието за природата се съдържа и защитава в текста: http://www.fqxi.org/data/essay-contest-files/Bradley_Is_Reality_Digital.pdf .

{15} На философското осмисляне на понятието за квантова вероятност е посветен раздел в сборника „Философия на квантовата информация и сдвояването“ (Bokulich, Jaeger [eds.]: 2010: 63-67).

{16} Обзори на квантовата вероятност: Gudder 1988; Meyer 1995; Kuperberg 2007.

{17} Обзор на геометричната вероятност се съдържа в Solomon 1970. Особена важна е връзката на геометричните обекти с инвариантни мерки, какъвто е предметът на дисциплината „Интегрална геометрия“: Santaló 2004. Такава връзка позволява на геометричните обекти да се гледа като на подмножество от „пространството на събитията“ и оттук като на интерпретация на класическата вече Колмогорова аксиоматика на теория на вероятностите.

{18} Обзор на понятие за сложност у Колмогоров във връзка с понятието за информация и с това за случайност се съдържа напр. в: Звонкин,  Левин 1970.

{19} Въпреки че понятието за субективна вероятност възниква много по-рано и обикновено се свързва с имената на Бейс и Лаплас, често дори наричана по името на първия, съвременното тълкувание обикновено се свързва с Рамзи, Кокс и Колмогоров и техните фундаментални работи, които са многократно цитирани в настоящия текст.

{20} Тази дефиниция e фиксирана от Лаплас, но може да се проследи може би до Паскал или по-назад. Вж. напр.: http://www.math93.com/theoreme/probabilites.html ; прецизно научно изследване на произхода на понятието за вероятност представлява Hald 2003.

{21} Законът е отдавна и широко известен в множество форми, показващи много тесни „фамилни прилики“: много по-подробно напр. в: http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers .

{22} Специфичният ракурс на необходимото ни разглеждане съм изяснил в предишна работа: Пенчев 2009: 34-50.

{23} Обзор на концепцията на Колмогоров в редица негови работи се съдържа напр. в: Durand, Zvonkin 2007, а във връзка с понятието за информация и за случайност – напр. в Звонкин, Левин 1970.

{24} Моделът на изчисление на число, днес наричан машина на Тюринг и всъщност разбиран обобщено като модел на произволно изчисление, е описан в класическата му работа така: „Можем да сравним човек в процеса на изчисление на реално число с машина, която е единствено способна на краен брой състояния q₁, q₂, … q_R, които ще бъдат наричани „m-конфигурации”. Машината е снабдена с „лента“ (аналог на хартията), преминаваща през нея, и разделена на части (наричани „клетки“), всяка в състояние да носи „символ“. Във всеки момент има точно една клетка, да речем r-тата, носеща символа 𝔖(r), който е „в машината“. Тази клетка можем да наречем „сканираната клетка“. Символът върху сканираната клетка може да се нарече „сканирания символ“. „Сканираният символ“ е единственият, който машината, така да се каже, „пряко осъзнава“. Обаче, чрез промяна на нейната m-конфигурация машината може по същество да запомни някои от символите, които е „видяла“ (сканирала) преди това. Възможното поведение на машината във всеки момент се определя от m-конфигурацията q_n и сканирания символ 𝔖(r). Тази двойка  q_n, 𝔖(r) ще бъде наричана „конфигурация“: следователно конфигурацията определя възможното поведение на машината. В някои от конфигурациите, в които сканираната клетка е празна, (т.е. не носи символ), машината изписва нов символ върху сканираната клетка: в други конфигурации тя заличава сканирания символ. Машината може също да сменя клетката, която се сканира, но само измествайки я една позиция надясно или наляво. В добавка към всяка от тези операции m-конфигурацията може да се сменя. Някои от символите, които са изписани ще образуват последователност от сивмоли, която е десетичната за реалното число, което се изчислява. Другите са само бележки в чернова да „помагат на паметта“. Именно тези бележки в чернова ще подлежат на изтриване. Моята отстоявана позиция е, че тези операции включват всички, които се използват при изчисляване на число“ (Turing 1937: 231-232).

{25} Моделът на квантовия компютър е обсъден в: Пенчев 2005.

{26} Машините на Тюринг с краен номер обикновено се отъждествяват с ‘машина на Тюринг’: това е фиксирано в определението, което дава самия Тюринг (Turing 1937: 231-232) и цитирано в предишна бележка. Номерът на машината на Тюринг е цяло число, което се присъедянява едно-еднозначно на наредената съвкупност от конфигурации, през които преминава машината на Тюринг до приключване на работа, т.е. еквивалентно − на резултата и алгоритъма, по който е получен.

{27} За начина на определяне на машина с безкраен номер, напр. – Hamkins, Lewis 2000 или Welch 2000 .

{28} Вж. също напр. http://science.jrank.org/pages/2522/Entropy-Entropy-additive.html или http://l.academicdirect.org/Horticulture/GAs/Refs/Renyi_1961.pdf .

{29} Връзката между сложност по Колмогоров и изчисление на машина на Тюринг е подробно обсъдена напр. в Li, Vitányi 2008: 502-516.

{30} Поставянето, историята, важността на проблема са свободно достъпни напр. в текста: S. Cook. The P versus NP Problem − http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/Official_Problem_Description.pdf . Вж. също и: http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/ .

{31} Обзор на опитваните подходи за решаване на проблема се съдържат в: L. Fortnow. The status of the P versus NP problem − http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/pnp-cacm.pdf .

{32} „… моят принцип на абстракцията, който прецизно изложен, е както следва: „Всяко транзитивно симетрично отношение, което има поне един пример, е анализируемо в съвместно притежание на ново отношение към нов термин, новото отношение бидейки такова, че никой термин не може да има тов отношение към повече от един термин, но неговото обратно отношение няма това свойство.“ Този принцип представлява на обикновен език твърдението, че транзитивните симетрични отношения възникват от общо свойство, с добавката, че това свойство се намира, за термините които го имат, в отношение, в което нищо друго не се намира към тези термини“ (Russell 2010: 221-222).

{33} Ще се обоснове в бъдеща публикация.

{34} Един преглед на различните подходи на Колмогоров към понятието за вероятност и съответно към строгото му математическо дефиниране се съдържа в: Vovk, Shafer 2003.

{35} Феноменологическото епохе или редукция [е] необходимата операция, която, докато стоим на натуралистичната почва, ни прави достъпно „чистото съзнание“ (по-добре, чистата субектвиност), от една страна, се схваща и описва един  нов вид регион на битието, едно никога не съзерцавано чисто и в неговата универсалност единство, от друга страна, абсолютен регион на битие, който носи в себе си всички мислими региони на битието по тепърва предстоящи да се установяват начини (Husserl 1976Id(2): 628).  

{36} „Maximum, quo maius esse nequit, simpliciter et absolute cum maius sit, quam comprehendi per nos possit, quia est veritas infinita, non aliter quam incomprehensibiliter attingimus. Nam cum non sit de natura eorum, quae excedens admittunt et excessum, super omne id est, quod per nos concipi potest; omnia enim, quaecumque sensu, ratione aut intellectu apprehenduntur, intra se et ad invicem taliter differunt, quod nulla est aequalitas praecisa inter illa. Excedit igitur maxima aequalitas, quae a nullo est alia aut diversa, omnem intellectum; quare maximum absolute, cum sit omne id, quod esse potest, est penitus in actu; et sicut non potest esse maius, eadem ratione nec minus, cum sit omne id, quod esse potest. Minimum autem est, quo minus esse non potest. Et quoniam maximum est huiusmodi, manifestum est minimum maximo coincidere” (Nicolai de Cusa. Opera Omnia. De docta ignorantia. Vol. I: De docta ignorantia. – Capitulum IV. Maximum absolutum incomprehensibiliter intelligitur; cum quo minimum coincidit. – http://www.hs-augsburg.de/
~harsch/Chronologia/Lspost15/Cusa/cus_d100.html#04 ). Български превод: „Единственият начин да се докоснем до простия и абсолютен максимум, от който нищо не може да е по-голямо, е да постигнем неговата непостижимост, защото като безпределна истина е твърде голям за възможността ни да го обхванем в познанието. Щом като природата му е различна от природата на нещата, които допускат превишаващо и превишавано, то той надминава всичко, което можем да схванем. И наистина всички неща, които се възприемат чрез сетивата, разсъдъка или разума, се различават до такава степен вътре в себе си и помежду си, че между тях никога няма точно равенство. Следователно максималното равенство, което не се явява нещо друго или различно за нито едно нещо, надвишава всяко разбиране. Ето защо, след като е всичко онова, което може да съществува, абсолютният максимум е изцяло в действителност и, както не може да е по-голям, със същото основание не може и да е по-малък, бидейки актуално всяко възможно битие. От своя страна, максимумът е онова, от което няма нищо по-малко, а тъй като и максимумът съществува по такъв начин, явно минимумът съвпада с максимума” (Николай Кузански. За ученото незнание. С.: Наука и изкуство, 1993, 35-36).

{37} Въпреки че под „логика на квантовата механика“ авторът няма предвид теоретико-решетъчните конструкции на Биркхоф и фон Нойман, а некомутативната конюнкция „и после“ (Yetter 1990: 41), все пак първите, „изгонени през вратата“, влизат „през прозореца“ чрез кванталите, тъй като лозунгът на работата е: „квантали + представима дуалност = линейна логика“ (пак там). Всъщност „и после“ моделира некомутивността времево. В предишна работа съм показал, че квантовата механика може и изобщо да се интерпретира времево (Пенчев 2009: 185 и сл.). Макар обаче некомутативността да е достатъчно условие за квантови корелации, тя не е необходимо, както показва теоремата на Кохен и Шпекер (Коchen, Specker 1967). Следователно една „логика на квантовата информация“ би трябвало да е по-обширна от „линейната логика“ и дори може би от „логиката на кванталите“.

{38} Употребата на термина „логически трансцендентализъм“ е многообразна и противоречива. Нямаме възможност да навлезем в критично подреждане из неговите дебри. Ограничаваме се със смисъла, близък до изследователите на Витгенщайн и неговия „Логико-философски трактат“: „Тук това, което бихме могли да наречем Витгенщайнов „логически трансцендентализъм“ (защото той твърди, че логиката е условието за възможност и на езика, и на света) води до резултата, че природата на логиката не може да бъде причинно изразена: все пак остава възможността да се твърди факта на тази неизразимост“  (Hanna 2006: 6). От друга страна и в не по-малка степен бихме искали да подчертаем чрез термина връзката между Кантовото учение за „аналитични и синтетични съждения“ с неговия априоризъм и трансцендентализъм. Начинът, по който го употребява Пърс, обаче е омонимичен (Pierce 1984: 73) и в случая не него имаме предвид.

{39} За да се уверите в това е достатъчно: http://en.wikipedia.org/wiki/Superstring_theory или http://en.wikipedia.org/wiki/String_theory . Концептуален обзор на струнните теории, подходящ за образовани неспециалисти се съдържа напр.: McMahon 2009 или Морозов 1992.

{40} Всъщност всяка достатъчно сложна (т.е. просто нетривиална) решетка предполага тълкуване в термините на „консистентните истории“ (напр. Omnès 1999 181-230), стига за съответното рамо на решетката да се добави вероятност да се осъществи прехода по него. Тъкмо това е основната идея на интерпретирането на квантовата механика по този начин. То демонстрира и е поредният етап за сбилжаване на логика и физика, налагано от квантовата механика. Може също да се разбере като дискретизация или квантифициране на Файнмановия подход чрез интеграли по пътищата. Ако се постулира дискретен скок от състояние в състояние, то тяхната съвкупност ще образува решетка или консистентни истории. Скоростта на дифеоморфизма е заменена с вероятността за дискретен преход. Изискването за консистентност на историите произтича от нашия подход за цялостност.

{41} Подробна и обективна оценка за степента на експериментална потвърденост на неравенствата, насочена към високо образовани неспециалисти, се съдържат в статията на Станфордската енциклопедия по философия: http://plato.stanford.edu/entries/bell-theorem/ .

{42} Следва да се отбележи „особеното мнение“ на единици сред изследователите: напр. Christian 2010.

{43} Достатъчно е човек да хвърли едно око на статията за интерпретациите на квантовата механика в Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Interpretations_of_quantum_mechanics .

{44} Точната формулировка е: „за неговите приноси към теоретичната физика и особено за неговото откритие на закона за фотоелектричния ефект” – http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1921/index.html .

{45} „Би трябвало да се подчертае, че докато нашето разбиране на законите на физиката постоянно се развива, бидейки винаги подлагано на внимателна експериментална проверка, досега не е била открита потвърдена разлика между теорията и експеримента за квантовата механика” (Townsend 2000: xi).

{46} Би могло да се приведе следният цитат от статията на Шрьодингер „Равенство и относителност на свободата”: „Защо е почти невъзможно да се даде точно определение на понятието за свобода? Ами понеже свободата на индивидите намира своето естествено и единствено оправдано ограничаване в равната свобода на другите индивиди” (Schrödinger 1984(IV): 356). Всъщност в приведения цитат, макар под „индивид” да се разбира човек, това не е явно посочено, позволявайки чрез обратен отблясък да се ограничава „свободата на електрона” чрез равната свобода на другите квантови обекти. В друга своя статия пише: „Много изтъкнати научни работници, особено физици, са се опитвали да играят с идеята, че явната недетерминираност на одушевената природа, тоест на живата материя, би могла да се свърже с теоретичната недетерминираност в модерната физика. Това, което прави тази игра толкова очарователна и вълнуваща е очевидно надеждата (или откровена, или тайна) да се извлече от новата физическа догма модел на свободна воля, която старата би отрекла да се получава. Смятам тази надежда за илюзия, поради следните общи причини” (Schrödinger 1984(IV): 364). Тези „общи причини” са доста интересни, но биха изисквали самостоятелен обстоен анализ, поради което ще се ограничим само до цитираното становище.

{47} „Забележете, че нашето доказателство не засяга „вероятности” или „състояния”, които да ги определят, което се дължи на факта, че тези теоретични понятия са водили до много объркване. Например, често се казва, че вероятностите на събития на едно място, могат мигновено да се променят от събития в друго, пространствено-подобно отделено местоположение, но дали това е вярно или даже безсмислено, не е от значение за нашето доказателство, тъй като никога не се отнасяме до понятието за вероятност” (Conway, Kochen 2008: 1).

{48} Такива са комплексните числа, дуалните и двойните числа, при които квадратът на фиксирания и определящ за съответния тип числа коефициент приема стойност съответно – 1, 0, 1. За да определим нашите „допълнителни“ числа, чиято идея е почерпена по-скоро от квантовата механика, отколкото от математиката, трябва да въведем такъв коефициент i пред второто число, щото за произведението от реалната единица и него да е изпълнено съотношението за неопределеност. В такъв случай i би бил съвършено неопределен. Това налага да въведем коефициент и пред първото число, така че i.j ≥ 1 Следователно допълнителните числа следва да се формулират поне за тройки числа.