Mamardashvili: Symbol and Consciosness

The paper discusses a few tensions “crucifying” the works and even personality of the great Georgian philosopher Merab Mamardashvili: East and West; human being and thought, symbol and consciousness, infinity and finiteness, similarity and differences. The observer can be involved as the correlative counterpart of the totality: An observer opposed to the totality externalizes an internal part outside. Thus the phenomena of an observer and the totality turn out to converge to each other or to be one and the same. In other words, the phenomenon of an observer includes the singularity of the solipsistic Self, which (or “who”) is the same as that of the totality. Furthermore, observation can be thought as that primary and initial action underlain by the phenomenon of an observer. That action of observation consists in the externalization of the solipsistic Self outside as some external reality. It is both a zero action and the singularity of the phenomenon of action. The main conclusions are: Mamardashvili’s philosophy can be thought both as the suffering effort to be a human being again and again as well as the philosophical reflection on the genesis of thought from itself by the same effort. Thus it can be recognized as a powerful tension between signs anа symbol, between conscious structures and consciousness, between the syncretism of the East and the discursiveness of the West crucifying spiritually Georgia.

The paper (Video) also as @ AdvanceSage or @ EasyChair or @ SocArxiv or @ SSRN

The presenation (Video)

Appendix: Observation as Action: an Observer and the Totality

The fundamental concept of phenomenology, that of phenomenon can be interpreted as an original and initial invariance in relation to the fundamental opposition of classical philosophy, that of subject and object. Consequently phenomenon can be thought as an initial structure or “eidos” of any entity, which is as single as plural. In particular, its plurality requires at least doubling, just which classical philosophy designates and studies as that opposition of subject and object.

Furthermore that concept of phenomenon correlates with that of the totality generating and/ or generated by a counterpart in terms of the totality. That “plural singularity” of the phenomenon can be directly deduced from the definitively necessary properties of the totality: any externality of the totality should be within it just being total. Thus the totality generates infinity in itself by itself and can be thought as equivalent to infinity in a restricted sense.

The observer can be involved as the correlative counterpart of the totality: An observer opposed to the totality externalizes an internal part outside. Thus the phenomena of an observer and the totality turn out to converge to each other or to be one and the same. In other words, the phenomenon of an observer includes as the necessity singularity of the solipsistic Self, which (or “who”) is the same as that of the totality.

Furthermore, observation can be thought as that primary and initial action underlain by the phenomenon of an observer as above. That action of observation consists in the externalization of the solipsistic Self outside as some external reality. It is both a zero action and the singularity of the phenomenon of action.

As a zero action, it serves as a reference frame, in which any other action can be situated and thus its phenomenon can be yielded. The essence of that zero action consists in the totality to be ordered in a “zero” way so that to be the same or to remain the same after being ordered as reality. That condition constitutes observation as that, to which the totality is invariant in the two hypostases: (1) a primary and initial “chaos” unorderable in principle and (2) the reality, which is already somehow well-ordered within it and by itself.    

As the singularity of the phenomenon of action, the “action” of observation is the common ground of all actions and therefore making them both possible and juxtaposable. Thus it can be “bracketed” so that as if only reality and real actions take place and so grounding the natural attitude to the world, commonly shared by people.

Furthermore, observation as if generating reality should be discussed in terms of ordering. The phenomenon of ordering is choice: Ordering represents a primary choice between the ordered and (the) unordered i.e. between at least two alternatives, among which only one should be chosen as ordering rejecting all the rest. Consequently ordering is equivalently representable as a series of choices or even as a single choice in a philosophical sense: the choice to be chosen the choice itself and therefore choosing ordering and reality. However reality hides that choice, which generates it. The mechanism for the choice underlying reality to be hidden can be found in observation as follows:

The observation itself is invariant to the choice. Observation is just the zero action: that action, which is “not” yet an action, but a reference frame or benchmark, to which any other, “real” action can be constituted as adequate to reality somehow already existing “in advance”.  Thus observation needs only some pure existence to remain from the choice after it is invariant to that choice and does not need it properly but only the abstract, “pure” existence (of it or at all). After the choice turns out to be hidden, only the result of the choice, i.e. reality is only what can be endowed with that unconditional existence.

Therefore and as a conclusion, the phenomenon of observation as a “zero action” is what can constitute reality as somehow already ordered ostensibly by itself and thus ground the natural attitude to the world as properly natural hiding all process of the phenomenological genesis of it.   

What is quantum information? Information Symmetry and Mechanical Motion

The thesis is: The quantum information introduced by quantum mechanics is equivalent to that generalization of the classical information from finite to infinite series or collections.

Preliminary notes: The conception of quantum information was introduced in the theory of quantum

information studying the phenomena of entanglement in quantum mechanics. The entanglement was

theoretically forecast in the famous papers of Einstein, Podolsky, and Rosen (1935) and independently by Shrödinger (1935) deducing it from Hilbert space, the basic mathematical formalism of quantum mechanics. However, the former three demonstrated the forecast phenomenon as the proof of the alleged “incompleteness of quantum mechanics”. John Bell (1964) deduced a sufficient condition as an experimentally verifiable criterion in order to distinguish classical from quantum correlation (entanglement). Aspect, Grangier, and Roger (1981, 1982) confirmed experimentally the existence of quantum correlations exceeding the upper limit of the possible classical correlations. The theory of quantum information has thrived since the end of the last century in the areas of quantum computer, quantum communication, and quantum cryptography.

The fundament of quantum information is the concept of ‘quantum bit’, “qubit” definable as the normed superposition of any two orthogonal subspaces of complex Hilbert space as follows:

‘Qubit’ is: 𝛼|0⟩+𝛽|1⟩ where 𝛼, 𝛽 are complex numbers such that |𝛼|2+ |𝛽|2=1, and |0⟩, |1⟩ are any two

orthonormal vectors (e.g. the orthonormal bases of any two subspaces) in any vector space (e.g. Hilbert space, Euclidean space, etc.). Thus Hilbert space underlying quantum mechanics is representable as the quantity of quantum information and any wave function, i.e. any state of any quantum system being a point in it can be seen as a value of that quantity. Consequently all physical processes turn out to be quantum-informational, and nature or the universe is a quantum computer processing quantum information.

The qubit is also isomorphic to a ball in Euclidean space, in which two points are chosen: A qubit is
equivalently representable as a unit ball in Euclidean space and two points, the one chosen within the
ball, and the other being the orthogonal projection on its surface, i.e. as a mapping of a unit ball onto its surface (or any other unit sphere).

The main statement: Quantum information is equivalent to the generalization of information from finite to infinite series.

A sketch of the proof:

Indeed information can be interpreted as the number of choices necessary to be reached an ordering of some item from another ordering of the same item or from the absence of ordering. Then the quantity of information is the quantity of choices measured in the units of elementary choice. A bit is that unit of elementary choice: It represents the choice between two equiprobable alternatives. Furthermore, the unit of quantum information, the qubit, can be interpreted as that generalization of bit, which is a choice among a continuum of alternatives. Thus it is able to measure the quantity of information as to infinite sets.

The axiom of choice is necessary for quantum information in two ways: (1) in order to guarantee the

choice even if any constructive approach to be chosen an element of the continuum does not exist; (2) to equate the definition in terms of Hilbert space and that as a choice among a continuum of lternatives:

Indeed the theorems about the absence of hidden variables in quantum mechanics (Neumann 1932;
Kochen, Specker 1968) demonstrate that the mathematical formalism of quantum mechanics implies
that no well-ordering of any coherent state might exist before measurement. However, the same
coherent state is transformed into a well-ordered series of results in time after measurement. In order to be equated the state before and after measurement, the well-ordering theorem equivalent to the axiom of choice is necessary. The measurement mediating between them should be interpreted as an

absolutely random choice of an element of the coherent state, for which no constructive way (equivalent to some “hidden variable”) can exist in principle. Thus the quantity of quantum information can describe uniformly the state before and after measurement (equivalent to a choice among an infinite set). Thus, Hilbert space can be understood as the free variable of quantum information. Then any wave function,being a given value of it, “bounds” an unorderable and a well-ordered state as the quantity of qubits (i.e.the “infinite choices”) necessary for the latter to be obtained from the former.The quantity of quantum information is the ordinal corresponding to the infinity series in question. Both definitions of ‘ordinal’ (Cantor 1897; Neumann 1923) are applicable as the ordinals are small. The ordinal defined in Cantor – Russell (Russell, Whitehead any edition) generates a statistical ensemble while that in Neumann, a well-ordering. Both correspond one-to-one to a coherent state as the one and same quantity of quantum information containing in it.

References:

Aspect, A., Grangier, R., Roger, G. (1981) “Experimental Tests of Realistic Local Theories via Bell’s

Theorem”, Physical Review Letters, 47(7): 460-463.

Aspect, A., Grangier, R., Roger, G. (1982) “Experimental Realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedanken Experiment: A New Violation of Bell’s Inequalities”, Physical Review Letters, 49(2): 91-94.

Bell, J. (1964) “On the Einstein ‒ Podolsky ‒ Rosen paradox”, Physics (New York), 1(3): 195-200.

Cantor, G. (1897) “Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre (Zweiter Artikel)”, Mathematische Annalen, 49(2): 207-246.

Einstein, A., Podolsky, B., Rosen, N. (1935) “Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be

Considered Complete?” Physical Review, 47(10): 777-780.
Kochen, S., Specker, E. (1968) “The problem of hidden variables in quantum mechanics”, Journal of
Mathematics and Mechanics, 17(1): 59-87.

Neumann, J. von (1923) "Zur Einführung der trasfiniten Zahlen", Acta litterarum ac scientiarum Ragiae

Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum, 1(4): 199–208.

Neumann, J. von (1932). Mathematical foundation of quantum mechanics [Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Berlin: Springer, pp. 167-173 (Chapter IV.2).

Russell, B, Whitehead, A. N. (any edition) Principia Mathematica, Vol. 2(*153), Vol. 3(*251).

Schrödinger, E (1935) “Die gegenwärtige situation in der Quantenmechanik”, Die aturwissenschaften,23(48), 807-812; 23(49), 823-828, 23(50), 844-849.

The paper (Video); also @ EasyChair, @ SocArxiv, or @ PhilParers, or @ SSRN
The presentation also as a PDF, a video or slides @ EasyChair

A related paper: Quantum information as the information of infinite series 
(Abstract: The quantum information introduced by quantum mechanics is equivalent to that generalization of the classical information from finite to infinite series or collections. The quantity of information is the quantity of choices measured in the units of elementary choice. The qubit can be interpreted as that generalization of bit, which is a choice among a continuum of alternatives. The axiom of choice is necessary for quantum information. The coherent state is transformed into a well-ordered series of results in time after measurement. The quantity of quantum information is the ordinal corresponding to the infinity series in question.)

Equilibrium in Nash’s mind

Capps suggested the hypothesis that “the Nash equilibrium is descriptive of the normal brain, whereas the game theory formulated by John van Neumann, which Nash’s theory challenges, is descriptive of the schizophrenic brain”. The paper offers arguments in its favor. Nash (1950) proved a generalization of Neumann’s approach. The quotability of “Nash equilibrium” grows exponentially. Nash obtained the Nobel Prize (1994) in economics. The essence of Nash’s equilibrium consists in the aims to be divided between the players disjunctively therefore achieving a more stable equilibrium. On the contrary, they share the aim(s) in Neumann’s approach being always in direct competition conditioning instability and trends to disintegration. The Nash equilibrium can be seen

as “strategic”.Schizophrenia is featured by a series of instabilities and trends to disintegration in:
– “Common sense”
– Imagination and perception
– The self
– The perception of the others
– Time perception
– Choice and rationality
– Understanding metaphors

The enumeration can be continued, but all those cases can be described as the severe competition of mental functions with a single winner and the suppression of both defeated and defeating functions, all of which are too important for integrity and psychic health.The Japanese psychiatrists even renamed schizophrenia to “Togo Shitcho Sho”. Two or more Turing machines (i.e. usual computers) can model a normal brain in the Nash equilibrium. The Nash equilibrium corresponds to wholeness,

stable emergent properties as well as to representing actual infinity on a material, limited and finite organ as a human brain.

The paper (Video); also as an item @ EasyChair or @ SocArxiv or @ AdvanceSage or @ SSRN (Elsevier), or @ PhilPapers
The presentation (Video); also as slides @ EasyChair

God's Dice

Einstein wrote his famous sentence "God does not play dice with the universe" in a letter to Max Born in 1920. All experiments have confirmed that quantum mechanics is neither wrong nor “incomplete”. One can says that God does play dice with the universe. Let quantum mechanics be granted as the rules generalizing all results of playing some imaginary God’s dice. If that is the case, one can ask how God’s dice should look like. God’s dice turns out to be a qubit and thus having the shape of a unit ball. Any item in the universe as well the universe itself is both infinitely many rolls and a single roll of that dice for it has infinitely many “sides”. Thus both the smooth motion of classical physics and the discrete motion introduced in addition by quantum mechanics can be described uniformly correspondingly as an infinite series converges to some limit and as a quantum jump directly into that limit. The second, imaginary dimension of God’s dice corresponds to energy, i.e. to the velocity of information change between two probabilities in both series and jump.

The paper as a PDF, a video, or @ EasyChair, @ FrenXiv; @ SSRN also the paper with the spots highlighted in the presentation as a PDF



The presentation as a PDF, a video, or @ EasyChair

Searching & Classifying: the unifying boundaries of identities and distinctions

Linnaeus is credited with setting up the hierarchical structure of classification based upon observable characteristics. While the details concerning what are reckoned to be scientifically relevant as visible or at least observable signs or features are changed with the development of cognition, the fundamental principles continue to be solid. In Systema naturae (1735) he presented the classification of plants, animals, and minerals, and in Genera plantarum (1737) he explained the system for classifying plants largely on the basis of the number of stamens and pistils in the flower. His classification has remained the basis of modern taxonomy: The botanists acceded in 1905 to establish his “Species plantarum” (2 volumes, 1753), and the zoologists, the tenth edition of his “Systema naturae” (1758) as the official starting points for the scientific names of plants and animals. The main principle of Linneaus taxonomy and classification called Binomial Nomenclature is the species to have a genus name ensued by a specific name. Foucault showed how an episteme based on resemblances and analogies had superseded in the 17th century by a new one of identities and distinctions. He disputed Leibniz’s idea of ‘mathesis universalis’ and ‘characteristica universalis’ as a project both of a general science of order and a theory of sign analyzing the way for anything to be represented. The Chapter 5 “Classifying” of Les Mots et les Choses is based of two main papers of Linnaeus.

The talk addresses Linnaeus’ binomial classification and Leibniz’s idea of mathesis unversalis as underlying Michel Foucault’s conception of ‘episteme’ as well as the representation of universal order with viewpoints of Descartes (Regulae ad directionem ingenii) and Kant (Kritik der reinen Vernunft, Kritik der Urteilskraft). Thus the idea of a space of knowledge is seen as explicated in the 17 century to unify both Europe and cognition during the following centuries.

The presentation as a PDF, a video or as slides @ EasyChair


The paper also @ EasyChair or @ PhilPapers

FERMAT’S LAST THEOREM PROVED BY INDUCTION (accompanied by a philosophical comment and a small perfection)

Abstract. A proof of Fermat’s last theorem is demonstrated. It is very brief, simple, elementary, and absolutely arithmetical. The necessary premises for the proof are only: the three definitive properties of the relation of equality (identity, symmetry, and transitivity), modus tollens, axiom of induction, the proof of Fermat’s last theorem in the case of 𝑛𝑛=3 as well as the premises necessary for the formulation of the theorem itself. It involves a modification of Fermat’s approach of infinite descent. The infinite descent is linked to induction starting from 𝑛𝑛=3 by modus tollens. An inductive series of modus tollens is constructed. The proof of the series by induction is equivalent to Fermat’s last theorem. As far as Fermat had been proved the theorem for 𝑛𝑛=4, one can suggest that the proof for 𝑛𝑛≥4 was accessible to him.
An idea for an elementary arithmetical proof of Fermat’s last theorem (FLT) by induction is suggested. It would be accessible to Fermat unlike Wiles’s proof (1995), and would justify Fermat’s claim (1637) for its proof. The inspiration for a simple proof would contradict to Descartes’s dualism for appealing to merge “mind” and “body”, “words” and “things”, “terms” and “propositions”, all orders of logic. A counterfactual course of history of mathematics and philosophy may be admitted. The bifurcation happened in Descartes and Fermat’s age. FLT is exceptionally difficult to be proved in our real branch rather than in the counterfactual one

Only the proof
The proof accompanied by a philosophical comment

A small perfection to the elementary proof of Fermat’s last theorem by induction published in PhilSci Archive is demonstrated. Only the property of identity is necessary in this second version of the proof. “Symmetry” and “transitivity” of the relation of equality are not necessary in it. This allows for simplifying and shorthening the proof. The refusal of a frequent objection to the proof is explicated. The utilized format is suitable for presenting the proof to wider audience

A small perfection of the proof

The last version (07.052020) as a PDF or @ EasyChair or @ FrenXiv, or @ SSRN, or @ PhilPapers

Въведението към "Математизирането на историята"

                                                                                                                                      Васил Пенчев

                                          

Към темата за математизирането на историята може да се подходи по два начина, от две съвършено различни изходни философски позиции. Първата предполага една предварително дадена философия, можем да я наречем, и то в няколко смисъла, първа философия, от чиято гледна точка, набедена за универсална, синтезът на математика и история се санкционира, по същество ценностно и идеологически. Очевидно философията се опитва да застане в мета-позиция, да властва над изследваната тема, самата тя недосегаема, трансцендентна спрямо обратни въздействия или трансцендентална – като условието за възможност за математизирането в една или друга степен, в т.ч. както за отхвърлянето му, така и за безусловното му приемане.

Втората позиция, оставайки философска и подчертавайки, че е такава, не се дистанцира чрез току-що споменатите обичайните и добре проверени или други философски прийоми, а се слива и събеседва с темата за математизирането на историята, излагайки и надявайки се на собствен възход, колкото по-същностен или фундаментален, толкова по-добре. Като резултат ще се окаже възвърната в питагорейството, в самия студенец на философията, чрез радикализирана Хайдегерова деструкция. С последното изречение вече се подсказа, че това е избраният път в настоящото изследване. Кой е той и накъде води неговата шахта, ако такъв е неговият кладенец?

В едно осъвременено питагорейство, в което математиката и историята са едно, с други думи, историческото битие е математическото битие. Това налага заложеното от Хайдегер, но неосъществено преобръщане на перспективата, та „да почнем най-сетне да мислим“ (отново с алюзия към него), към Време и битие. Така разбраната история – тя и математика – не може да е регионална, а само фундаментална „онтология“, и то всъщност фундаменталната „онтология“, поради което названието „фундаментална история“ е подходящото. Думата онтология е поставена в кавички наистина затова, че фундаменталната история не е онтология, но – грубо казано – не защото е по-малко, а защото е повече от онтология. Тя отива отвъд онтологията, за да я преобразува от естествената почва, благоприятстваща прорастването на всяко битие или Битието изобщо, а това е Времето, което е Число, едно просто броене. 

Такава деструкция е по-радикална от Хайдегеровата, понеже отива отвъд Логоса като Език (а още повече като Разум) към Числото на Питагор и неговите последователи. С това се потегля противофактово по един неслучил се, възможен клон на европейската философия, по който Числото не би било маргинализирано. Той разбира се има мимолетни отблясъци и в реалния, въпреки ревизията на философията – една дума, въведена от питагорейците, − започната още от предсократиците и достигнала един връх с „темата за човека“, със Сократ и Платон, и после – с Аристотел: да отбележим неоплатониците, Лайбниц, някои идеи на Декарт, в по-ново време феноменологията на Хусерл, насоки на процесуалната философия, да подчертаем особено учението на Бадиу.

Заедно с това в самата математика протичат процеси, които водят към дълбоките философски основания на дисциплината. Великото начало е положено с дедуктивно-аксиоматичното изграждане на геометрията от Евклид. Многовековните опити да се докаже или опровергае петият му постулат довеждат до появата на неевклидови геометрии и до осмисляне на понятията за пълнота и непротиворечивост на аксиоматична система. Теорията на множествата на Георг Кантор позволява да се изгради общ фундамент на математиката и заедно с това поражда редица парадокси, довели до необходимостта от по-предпазлива и добре формализирана употреба на понятието за множество. Фокус на проблемите е концепцията за безкрайност: едновременно като откритост − потенциалната или конструктивна безкрайност; и като завършеност – актуалната безкрайност. Така на математически език може да се тълкува като „преведена“ фундаменталната колизия между откритостта на времето и тоталността на битието. Когато говорим за „фундаментална история“ нямаме предвид превес нито на откритостта над тоталността, нито противоположното, а тяхното равновесие. Математически израз на това равновесие е въведената от Скулем (1922) относителност на понятието за множество. Програмата на Хилберт за последователно обосноваване на математиката чрез аксиоматична аритметизация и изключване на понятието за безкрайност се натъква на теоремите на Гьодел (1931) във връзка с непосредствено предхождаща негова работа (1930) и дисертацията му. Тяхното интерпретиране е открит проблем. Всъщност може да се твърди, че именно те принуждават към артикулиране на възможността за възраждане на питагорейството: от една страна, самообосноваваща се математиката като тоталност в духа на Хилберт, а от друга − математика, която е в състояние да докаже с вътрешни средства своята несамодостатъчност под формата на съществуване на неразрешими твърдения в достатъчно богата аксиоматика. Отношението между откритост и завършеност е фундаментално. Нов етап в обосноваването на математиката е полагането ѝ върху теорията на категориите. Така естественият и сякаш самоочевиден възглед на физиката като дисциплина, че има неща и техни движения, се формализира съответно чрез понятията за обект и морфизъм. Понятието за функтор и категория от категории затваря математиката в тоталност по начин, по който, възможно, избягва парадокси.

Специално внимание следва да се отдели на квантовата механика и информация по следните причини. Тя е едно изключително успешно математическо учение за фундаменталната физическа основа на света. По нерефлектирана инерция обаче то не се мисли по този начин, а като един от многото възможни математически модели на една друга, скрита и частично позната чрез него, „материална“ и „обективна“ реалност. Това е класическият епистемологически предразсъдък, всъщност несъстоятелен по отношение на тази „частно-научно дисциплина“, както с високомерие е склонна да се отнася към нея философия от първия тип. Теоремите за отсъствие на скрити параметри, особено на фон Нойман (1932) и на Коушън (Кохен) и Шпекър (1967), ревизията на Бел (1966) и неговите прословути неравенства (1964), експерименталните доказателства за тяхното нарушаване (1973, 1981-1982 и до ден днешен) в дълбоката си основа могат да се интерпретират и действително означават преосмисляне на току-що споменатия предразсъдък за неотстранима принципна разлика между познание и реалност. Дори и в неговите рамки може да се изтъкне, че едно достатъчно богатство на реалността допуска и дори предполага наличие на специфични научни области, в които той да не е валиден. Концепцията за „скрити параметри“ в квантовата механика, многогодишният и изключително плодотворен дебат между Бор и Айнщайн по основите на квантовата механика, кулминирал в откриване на нейната нелокалност чрез несъстоялото се „доказателство от противното“ на аргумента Айнщайн, Подолски и Розен (1935) за непълнотата на квантовата механика позволяват ясно да се види и просто да се илюстрира предполагаемата по предразсъдък неотстранима разлика между математически модел и реалност. Такава разлика е тъкмо философският и методологически извор на „скритите параметри“ в квантовата механика, източникът на непресъхващо упорство от техните защитници. Тя отдавна и напълно независимо е тематизирана и проблематизирана и във философията, напр. от Хайдегер като „въпроса за онтологическата разлика“ или от Дерида, който изковава „немия“ неологизъм „différance”.

Наистина ако такава разлика между модел и реалност в общия случай няма, тъй като я няма в случая на квантовата механика и информация, то отсъства и „обиталището“ на „скрити параметри“, откъдето биха могли да бъдат изведени като „явни“ – поне по принцип – в процеса на познание. Нерядко теоремите за отсъствие на скрити параметри са набеждавани философски за „агностицизъм“: за узаконяване на област на изначална случайност, недостижима за познанието. Това е не просто неадекватно, а е превратно тълкуване. Точно напротив: класическият гносеологически предразсъдък, споменат по-горе, е този, който постулира такава разлика и нейна и своя област, чиято граница обаче бива постепенно отмествана в историческия ход на развитие на познанието. Отсъствието на скрити параметри, каквото е налице поне в случая на квантовата механика и информация, всъщност означава принципно отхвърляне на такава област, поради съвпадение на модел и реалност. И ако моделът е математически, то съвпадащата реалност е също математическа.

Квантовата механика и информация е първата област на човешко познание, която с основание и по същество заслужава квалификация „питагорейска“ в смисъла, че съдържа лелеяното от Хилберт за самата математика вътрешно доказателство за пълнота. Програмата, съпоставена с неговата аритметизираща, може да се нарече геометризираща. Наистина базовата математическа структура, хилбертовото пространство е векторно, безкрайномерно обобщение на обичайната тримерна евклидова геометрия. Така в теоретико-множествено отношение неизбежно се опира на континуума и следователно донякъде − на концепцията за актуална безкрайност. Очевидно в крайна сметка е реализиран опит, противоположен на интенциите на Хилберт за „изгонване“ или ограничаване на приложение на понятието за безкрайност в математиката чрез финитна или поне конструктивна аритметизация. Фигуративно може да се каже, че тъкмо актуалната безкрайност, скрита зад „геометризация“, е тази, която в дълбоката основа е осигурила пълнотата на една математически теория, и то в радикалния питагорейски смисъл на съвпадение с реалността. Но как стои въпросът тогава с непротиворечивостта и стоящите на стража теореми на Гьодел, противопоставящи пълнота и непротиворечивост за достатъчно богати аксиоматики, включващи пеановата аритметика, каквато е неизбежно и всяка аксиоматика на хилбертовото пространство, дори и само затова, че е безкрайномерно? Налага се да бъдат заобиколени по един или друг начин с гарантиран успех, тъй като това е вече имплицитно сторено посредством теоремите за отсъствие на скрити параметри.

Така квантовата механика и информация задава определен образец, който ще се стремим да следваме във философската му основа, на математизиране на реалността, в случая физическата, по начин да се разкрива самата математическа същност на реалността. Под математизиране на историята следователно ще разбираме в рамките на настоящето изследване тъкмо такъв тип разкриване на скрита и изконна, съвпадаща със самата история математика, наричана фундаментална история.

Съществена част от проблемите, които поставя тематиката на „скритите параметри“ в квантовата механика е свързана със ‘случайността’. Всеизвестната реплика на Айнщайн, която дори няма нужда да се цитира, възражението, изказано или приписвано на Бор – „Айнщайн, спрете да говорите от името на Бога!“ – са враснали в културния фон на нашата епоха. От друга страна, проблемът за случайността е твърде важен за историята, поради уникалния характер на нейните събития. Всъщност идеята за съвпадение на модел и реалност изисква преизтълкуване и на проблема за случайността в квантовата механика. Защо? В обичайната си интерпретация той произхожда от агностическото тълкуване на отсъствието на скрити параметри като постулиране на област на случайността, принципно недостижима за познанието. След като теоремите за отсъствие на скрити параметри се преосмислят като твърдения за съвпадение на модел и реалност, т.е. по същество анти-агностически, случайността се оказва включена не само в реалността, но и в математическия модел, очевидно рационално изграден и съвпадащ с нея.

Всъщност такова рационализиране на случайността е отдавна известно във философията на историята, най-малкото чрез Хегеловата концепция за „Разума в историята“ и нейните следовници, но нейните корени могат да се открият в много по-ранни източници и в отдалечени пластове на европейската култура. За нас като мост за съединяване на раздробената проблематика за „рационалната случайност“ с математически концепции ще послужат идеите на Колмогоров и Мартин-Льоф за представяне на случайността като сложност и по-точно – като максимална или гранична сложност. От такава гледна точка случайните събития, напр. в историята, могат да се тълкуват като резултат на разум, напр. на „Разума в историята“, или получени чрез пределно обобщен изчислителен алгоритъм, възможно включващ нефинитни процедури.

Вече се спомена, че ключова роля за такова съвпадение на модел и реалност играе безкрайността: и като потенциална, и като актуална, и като отвореността на времето, и като тоталността на битието. Вдъхновени от Скулемовото разкриване на относителността на понятието за множество, можем да се насочим към обосноваване на относителност на крайно и безкрайно или на инвариантност спрямо крайно и безкрайно. Това е противоположно на обичайното им радикално противопоставяне, при което се предполага дори някаква бездна между тях, скок във или през трансцендентното, или трансцендентност на безкрайността. Още нейното изследване от Кантор в рамките на теорията на множествата, макар и проблематизирано от парадокси и от по-общия въпрос за непротиворечивост, прехвърля мост между крайно и безкрайно. Скулем прави нова решителна крачка за тяхното сближаване чрез разкриване „относителността на понятието за множество“, при което проличава решаващото значение на аксиомата за избора. Квантовата механика е принудена да намери решение на своеобразен емпиричен еквивалент на относителността на крайно и безкрайно или на инвариантност на познанието относно тях. То трябва да бъде обективно в смисъла да е валидно за изследваните микро обекти и заедно с това да е емпирично наблюдаемо чрез макро уреда. Тъкмо необходимото за квантовата механика отношение между микро обекта и макро уреда встъпва като емпиричен еквивалент на отношението между крайно и безкрайно. Решението, което успяват да открият самите физици, е въплътено в една аналогична относителност, наречена допълнителеност или вълново-корпускулярен дуализъм. С имплицитното въвеждане на инвариантност и спрямо дискретни морфизми (движения) наред с гладките (притежаващи дефинируема и крайна скорост във всеки момент от време), класическият детерминизъм трябва да се обобщи до обяснение и евристика от типа на „рационализируемата случайност“. Така апаратът на квантовата механика споделя и представя общи черти на всяка относителност или инвариантност спрямо крайно и безкрайно.

Към дуализма на квантовата механика може да се подходи и с мярката на Айнщайновата „всеобща ковариантност“ или общия „принцип на относителността“. Достатъчно е да се обобщи от произволни гладки морфизми и до дискретни включително, при които понятието за скорост не може изобщо да се дефинира или трябва да се определи косвено, напр. като отношение на енергия и импулс. В този случай еднозначно детерминираното бъдещо положение се заменя с разпределение на неговата вероятност и е представимо с вълнова функция. С други думи, характерните особености на формализма на квантовата механика, а по нашата питагорейска концепция − и на самата реалност, следват непосредствено от разширеното разбиране на движението, включващо квантови скокове, а на математически език – дискретни морфизми. Историческите процеси по своята същност са аналогични: в тях се откриват както бавни непрекъснати изменения с променлива посока, така и бързи, исторически внезапни скокообразни изменения – еволюционни периоди и революции. Особено вторите изискват ново разбиране за историческата случайност.

Образецът на квантовата механика и информация е много важен по темата за математизирането на историята и затова, защото предлага концепция за многообразно и сложно структурирано време, за съотнасяне на действителната и възможните траектории на историческия ход.

Вече обърнахме внимание на хипотезата, че отсъствието на скрити параметри в квантовата механика следва да се тълкува като вътрешно, т.е. в рамките на формализма, доказателство за неговата „пълнота“ (тук в смисъла на съвпадение на модел и реалност). Така хилбертовите пространства, експлоатиращи експлицитно безкрайността, неминуемо въвеждат определена двойственост, дуалност – а ние я интерпретираме и като относителност в смисъла на Скулем или инвариантност – между потенциалния, конструктивния, може би дори финитния характер на безкрайността, от една страна, и приемането ѝ за актуална, завършена, от друга. В рамките на непосредственото му предназначение като формализъм на квантовата механика и информация тази двойственост или допълнителност обслужва вълново-корпускулярния дуализъм. Той обаче допуска да се мисли в пределна широта, по питагорейски, т.е. като математическа онтология, чиято пълнота или тоталност е доказуема със собствени, вътрешни средства. В този си фундаментален аспект той не просто моделира, а Е дуалността между отвореността на времето и тоталността на битието. Достигнали дотук, до върха, можем да видим, че той Е и фундаментална история, като крачката е по-скоро психологическа: акцентът вече и само се е преместил към отвореността на времето от тоталността на битието (последното е собствено математико-философското, питагорейско разглеждане).

Ако това е така, би следвало възможните средства за математизиране на историята да са различни спецификации (евентуално чрез допълнителни или алтернативни аксиоми) на базовата математическа структура на хилбертовото пространство. Интересен е въпросът дали и как последното твърдение може да се формализира в нейните рамки, за да може да се постави и евентуално осъществи негово вътрешно доказателство или такова на отрицанието му. В рамките на настоящето изследване обаче се поставя само по-скромната задача да се покаже, че наличните главни теоретични или формални математически метода, прилагани по отношение на историята, могат да се положат върху основата на хилбертовото пространство.
Разгледани са противофактовият анализ, уейвлет анализа, както и изобщо на времеви редове, теорията на хаоса и фракталните структури. Те практически изчерпват досега появилите се значими теоретико-математически конструкции относно историята.

Противофактовият анализ обсъжда алтернативни, несъстояли се ходове на историята. Робърт Фогел (1964) прави класическо изследване в областта на икономическата история: сравнява се икономическо развитие на Щатите през деветнадесети век при въвеждане и широко разгръщане на железниците (фактическото положение на нещата) с отсъствието на такова (собствено противофактовото изследване). Дефинира е величина на „обществените спестявания“, която измерва в пари, т.е. строго количествено, разликата между двата обсъждани варианта. Изводът е че железопътният транспорт играе много по-малка роля от приписваната му, всъщност почти незначителна, за икономическото развитие на САЩ през XIX век. Присъдената на Фогел Нобелова награда по икономика несъмнено е оценка и за достоверността на изследванията му.

Наистина основният проблем е как бихме могли да верифицираме хипотетичния, противофактов исторически ход на събитията: т.е. какво е щяло да се случи, ако не бяха въведени железниците там и тогава. Фогел окачествява своя метод като „хипотетико-дедуктивен“ и използва техники от линейното програмиране, за да реализира своя анализ. Критерият за истина, който той прилага не може да е този на природните науки, тъй като се отклонява от фактическото положение на нещата по предполагаем, но очевидно въобразен, измислен ход на историята. И наистина, той принадлежи към типа истина в математиката: дедуктивни изводи от съвкупност от предпоставки, една от които е нереална, а именно отсъствие на железници в Щатите през деветнадесети век. Следва дебело да се подчертае, че теоретичният модел, който се имплицира от противофактовия исторически анализ, е този на математиката, а не на природните науки. Разбира се, самият метод на Фогел не може да се окачестви като строго математически. В него изобилстват допълнителни правдоподобни оценъчни съждения, които да позволят анализът да се опрости и завърши. Те не само напомнят, но и по същество са сходни с идеализациите и допусканията на физиците, чрез които се въвежда относително прост математически модел за описание на изследваните явления. Разликата е в това, че във физиката става дума тъкмо за математически модел на дадена емпирично и експериментално наблюдавана реалност, докато при противофактовия анализ математическата структура описва възможен, вероятен, но неслучил се, нефактически развой от събития. Това, което физикът и класическият епистемолог приема за разлика между модел и реалност, като втората е неизмеримо по-сложната, за противофактовия историк е преобразувано в „разстояние“ (при Фогел строго количествената величина на „обществените спестявания“) между възможна (противофактовата) и действителната (фактическата) времева траектория.

Идеите на Файнмановата интерпретация на квантовата механика чрез интеграл по всички възможни пътища, като вероятността на всеки път е тъкмо тегловният коефициент на приноса му в интеграла, позволяват да се прехвърли надежден мост между базовия формализъм на хилбертовите пространства и противофактовия анализ. За целта нека аналогично разгледаме съвкупността от всички възможни противофактови истории, заедно с действителната, на която те са алтернативи. Подходът на квантовата механика обобщава този на класическата като вместо един единствен действителен път разглежда множество от възможни с различна вероятност, сред които един се избира в резултат на измерването като действителния. Измерването се осъществява чрез включване в изследваната квантова система на макро уреда, който в гносеологически план гарантира противоположния спрямо обективността полюс на емпиричността и играе ролята на своеобразна „емпирична тоталност“, придавайки характерния холистичен облик на формализма и резултатите. Обратно, ако предварително сме приели концепцията за множество от възможни исторически пътища, сред които някак се избира един за действителния, то се нуждаем от аналогична, вече мега „емпирична тоталност“, за да обосновем подхода. Всъщност, за да се избегне дискусията относно статута на такъв епистемологичен или „чист“ конструкт, тази мега „емпирична тоталност“, то може да се ограничим единствено до постулат за винаги наличие на резултата от неговото присъствие: само до избора на действителната исторически траектория измежду възможните. Собствено математически този постулат е отдавна известен и добре проучен: това е аксиомата за избора. Следва да се подчертае характерът на замяната: за да избегнем отговора на непосилния за съвременното познание или по принцип въпрос „кой избира“, то се ограничаваме да твърдим „има избор“.

Оттук може да се определи разстоянието (например използваната от Фогел величина на „обществените спестявания“) между действителния (тук отъждествяван с най-вероятния преди избора) и възможния ход също така и чрез вероятността последният да се случи. Следователно колкото по-голямо би било въздействието на даден фактор (при Фогеловото изследване – въвеждането на железниците), то той е толкова по-невероятен. Това е обща особеност на сериозните противофактови изследвания: те неизменно показват, че по анализираните пътища, които е естествено да бъдат вероятни, почти нищо не се променя. Историческият ход тече стабилно и устойчиво в установено русло, което се трасира и от действителния ход. Не е ясно обаче дали такава категорична приемственост не е предпоставена чрез континуалната и дори гладка форма на вероятността на разпределение по възможни исторически пътища. Обратно, дали „чудото“ на рязка промяна не следва да се свърже с дискретен, дори и малък скок във вероятността: с други думи, дали значимостта на един фактор произтича от неговата вероятност или от нейната производна по възможните пътища. За да е възможно обсъждане на втория случай, трябва разстоянието между възможните светове да може да се определя по начин, независим от тяхната вероятност, за да се избегне кръговостта на дефиницията: следователно, дали понеже не сме успели да преодолеем въпросната кръговост, затова да получаваме артефакта на историческата приемственост при противофактовите изследвания. Тъй като „чудеса“, резки промени все пак, макар и рядко се наблюдават – т. нар. революции, − то може би все пак е възможно независимо от вероятността им определяне на степента на близост между възможните светове, а теорията на хаоса е тази, която може да предложи ползотворна евристика.

Нека сега, от перспективата на противофактовия анализ отново се върнем към питагорейски съвпадение между модел и реалност в смисъла на липса на разлика между тях, поради отсъствието на скрити параметри: еквивалентът на модела е отделната възможна противофактова история. Всъщност още с полагане на тази еквивалентност, т.е. с приравняването на завършеността на модела с откритостта на историята вече неявно е предположено съвпадението на модел и реалност. Това може да се покаже локално: един избран − по аксиомата за избора или тъй като „има избор“ – модел е действителният; а също и глобално: съвкупността от всички модели е действителността; тогава, обединявайки локалния (с неизбежното участие на избора) и глобалния аспект се получава, че съвкупността от всички модели чрез самотъждествеността на действителността и поради избора (аксиомата за избора) е еквивалентна на един модел. За това може да се даде пример чрез хилбертовото пространство: то е еквивалентно на един свой кюбит. Така се дефинира и безкрайно множество: то съдържа свое същинско подмножество, на което е еквивалентно (равномощно).

Обединяване на локалния, открития и глобалния, завършения, телеологичен аспект на историята се тематизира и в уейвлет анализа. Характерното за него е локалната промяна във времето да се съчетае по непротиворечив начин с глобалните честотни съставящи посредством подходящо избрани локално-глобални, „глокални“ „атоми“ – уейвлетите. Те освен това имат способността да се самонастройват: автоматично „избират“ мащаба, на който съчетаването на локалните и глобални аспекти на изследвания исторически процес е оптимално. Често използвана аналогия, която не е просто метафора, а е добре известен пример на уейвлет анализ, е нотният запис на музикална мелодия. Неговият „атом“ е нотата. Тя се характеризира с продължителност, както и момент, в който трябва да започне да звучи – това е локалният аспект; и с височина на тона, честота, която е реципрочна на времето и отразява глобалния аспект; всяка мелодия може да се представи чрез подходящо избрани ноти, а всеки музикант има професионалната квалификация да я възстанови от нотния ѝ запис, т.е. да я изсвири или изпее. Друг пример на традиционно използване на уейвлет анализа, много преди да се появи терминът, са записите на числа в бройна система, в т.ч. и нашата стандартна – десетичната. Най-сетне и вълновата функция в квантовата механика може лесно да се интерпретира като подобен тип запис на състоянието на квантовия обект. Изобщо уейвлетите се определят като специфичен метод за преобразуване на функция на една променлива, напр. времето – която е обичайната за историята, в такава от две, при което добавената променлива е реципрочна на първата и отразява глобалния аспект на функцията, напр. време-честотният анализ на процеси, при който реципрочната променлива на честотата допълва тази на времето. В квантовата механика обаче разцепването на две реципрочни променливи и съответно величини е принудено от съотношенията за неопределеност. С други думи, уейвлет представянето е единствено възможното. То е продиктувано от изисквания на различни равнища. Първо, квантовата механика е изначално наука за локално-глобална система, понеже необходимо обхваща микро обект и макро уред. Освен това, вече се споменаха съотношенията за неопределеност. От тях следва наличието на двойки некомутиращи величини (собствено не комутират техните оператори), които са реципрочните във всяко от съотношенията. Всъщност това е единственото нетривиално условие (и различно от класическата физика), сред онези, които посочва фон Нойман като необходими, за да се изведе теоремата за отсъствие на скрити параметри (1932). Оттук можем да изведем по-общата и всъщност философска хипотеза, че отсъствието на скрити параметри вече в смисъла на питагорейско съвпадение на модел и реалност произтича и може би дори следва от локално-глобалния, глокален анализ. Наистина глобалното е естествено да се мисли като завършено или поне да се идеализира като тотално, за да може да се противопостави на откритостта на локалното; тогава именно тоталният характер на анализа по принцип не оставя място за нещо още, т.е. за някакви все още или завинаги неизвестни и затова скрити параметри. Обратно, прилагайки уейвлет анализ към историята не само тя се изследва глобално-локално, „глокално“, но и всяка възможност за скрити параметри се изгонва: например историческата случайност необходимо се оказва рационализирана до хегелиански тип „Разум в историята“.

Може би дори по-интересно за математизирането на историята е усилването на фон Ноймановата теорема за отсъствие на скрити параметри в теоремата на Коушън (Кохен) – Шпекър (1967). Според нея отсъствие на скрити параметри може да се наблюдава дори и при комутиращи величини, т.е. наличието на некомутиращи величини в квантовата механика е достатъчно, но не необходимо условие за отсъствието на скрити параметри. Такова може да се изведе още от самия вълново-корпускулярен дуализъм. Скоковете, наличието на паралелен дискретен характер е тъкмо онова, което причинява изначалния вероятностен характер на битието в квантовата механика. Хипотезата за скритите параметри всъщност настоява над това, че зад всяка вероятност − и в частност зад тази в квантовата механика − стои една локална, партикуларна реалност, състояща се от Айнщайновите „елементи“: тогава всяка естествено наблюдавана вероятност е необходимо статистика на отделни събития, а глобалното е изцяло сводимо до локалното. Пренесен в областта на математиката този подход е радикално конструктивистки, т.е. финитистки: безкрайността може да се представи изчерпателно чрез крайността или по краен начин. Всъщност би трябвало да се подчертае изключително дълбоката принципна разлика между редукционистко и релативитстко тълкувание на горната теза. Първото е монистично, второто е дуалистично. Първото твърди, че глобалното и безкрайното не е самостоятелно начало в битието или математическо битие, с достатъчно прецизни средства − пример на набедени за такива е Хилбертовата аритметизация – то без какъвто да е „намирисващ на мистика“ остатък може да се сведе до локалното и крайното. Второто, точно обратното, настоява на дуалистичния характер на локално и глобално, на „време и битие“, на крайно и безкрайно. В собствено математически аспект пътеводната нишка е Скулемовата относителност на понятието за множеството и фундиращата я аксиома за избора. Във физиката тя може да бъде получена чрез обобщаване на Айнщайновия „принцип на относителността“ и за дискретни морфизми (квантови, прекъснати движения), който обаче следва – и това е неизбежно – да се противопастави на редукциниостката, „абсолютистка“ концепция на късния Айнщайн за локалните „елементи на реалността“.

С други думи, самото използване на уейвлет анализ, дори и когато не е принудено от съотношения за неопределеност, водещи до некомутиращи величини, а е изследователско решение, изключва наличието на скрити параметри с всички следствия за философия на историята. От тях ще подчертаем принципния извод, че историята не може да се сведе до простата последователност от локално и фактически наблюдавани събития: всъщност това е тъкмо обичайният стандарт за научност в историята, „историографския идеал“. Нейният глобален аспект изисква въвеждането на хипотетични, противофактови истории, философско-исторически концепти относно смисъла на историята или на нейни части като цялост или тоталност или … математизирането на историята. Всъщност философско-историческият компонент на историята е равностоен на историографския и той заедно с това обосновава равностойността на философската съставяща, наред с „частно-научната“ във всяко научно изследване, макар да живеем във време на господстващ редукционизъм и систематични преследвания и гонения на философското от науката. За нашата епоха едва ли не всяко научно изследване на реалността трябва да е локално, но такава наложена едностранчивост го осакатява дори и от собствено локалната, фактическа или фактологична позиция.

Освен обобщението на Коушън (Кохен) – Шпекър на фон Ноймановата теорема за отсъствие на скрити параметри не по-малък интерес за нашата философско-историческа находка към математизирането на историята представлява нейната критика от Джон Бел (1966) в тясна връзка с прочутите му неравенства (1964), за чието извеждане може да се разглежда като методологическа основа. Всъщност въпросната критика разчиства пътя към следното пределно философско обобщение, към каквото се стремим: всяка част на тоталност в общия случай е тотална (локалното разглеждане е частен случай на тоталното). По отношение на безкрайността това е добре известна традиция (крайното множество може да се разглежда като частен случай на безкрайното, напр. съдържайки безкраен брой служебни елементи − празни множества − или на основа на скулемовски тип относителност на крайно и безкрайно). В резултат на това естествено се дефинират необичайни външни части или елементи на такава нова „частна тоталност“ от необикновен вид. От нарушаване на неравенствата на Бел необходимо следва (но забележете: без да е достатъчно условие), че една квантова система притежава такива сдвоени (entangled) с нея свои външни части. Самата критика на Бел (1966) спрямо фон Ноймановата теорема за отсъствие на скрити параметри (1932) може да се синтезира в независимо преповторения след Грете Херман (1935) довод срещу използваната предпоставка за адитивност на математическото очакване на едноименни физически величини от отдалечени квантови системи. Всъщност той е много близък до аргумента Айнщайн – Подолски – Розен (1935). Тези автори обаче го тълкуват превратно като доказателство от противното за непълнотата на квантовата механика. Едва след като техният аргумент се преобърне по правилото „модус толенс“, се получава адеквантното съждение: тъй като квантовата механика е пълна, то тя е нелокална (едноименни физически величини от произволно отдалечени квантови системи имат неадитивно математическо очакване).

Визираното положение на нещата в квантовата механика, която е необходимо холистична, може да се обобщи до философски принцип по няколко сходни начина: всяка локална част на тоталност е тотална; битието придава битие на всичко. Основният Хайдегеров термин „Dasein” може да се тълкува именно като такава локална тоталност за разлика от самата тоталност – Sein, към която е присъединена представката за локалност – Da, за се разграничи този особен вид битие или тоталност, която е ограничена, тук и сега. За нашия фундаментално-исторически подход е особено важно Dasein да се изтълкува времево: по неговия образец ще изковем неологизма Dazeit, имайки предвид, че представката Da може да представи също така и смисъла на локален момент от времето – ‘сега’ или ‘тогава’. Става дума, че тоталността на времето, за която обичайната дума е „вечност“ може да се въплъти или вложи в конкретен времеви момент или период. Обратно, времевите моменти или периоди като части от тоталността на времето, вечността, придобиват също тотално-времеви или вечен характер. Тъкмо това се стреми да показва нововъведеният термин „Dazeit“. Всъщност този вечен аспект на времето е изборът и той конституира фундаменталната история. ‘Dazeit’ означава: „Има избор“.

В тази светлина концепцията на уейвлета анализа в историята може да се представи като откриване на подходящите атоми, едни конкретни „Dazeit”, за анализ на съответните конкретни времеви цялости, към които те се самонастройват. Етимологията на „атом“ ни отвежда към „неделим“, сходен на съвременния „квант“: тъкмо затова „атомът“, „квантът“ – уейвлетът е адекватният за анализ на цялост, в случая – времева. От друга страна и чрез малко по-горе обсъденото посредничество на „Dazeit“, уейвлетът в историческия анализ може да се тълкува като първичен, фундаментален избор: тъкмо онзи, за който само може да се твърди, че го има – „Има избор“ – и нищо повече. Всеки конкретен уейвлет представлява едно от безкрайно многото решения за оптимално уравновесяване на локално и глобално, на времево и вечно, което го прави тъкмо най-подходящият за изследване на дадена предварително, конкретна времева цялост. С употребата на уейвлети косвено се имплицира характерът на сигнал за изследваната историческа цялост: подход, който е по същество в съзвучие с хегелианския „Разум в историята“, доколкото понятието за сигнал предполага именно пренасяне на смислена информация, в случая – по историческия „канал“. Така уейвлетът служи и за разграничаване или „усилване“ на образа, съдържащ се или кодиран в сигнала, от фона на „шума“. Отново може да се види как, от това, че сме изтълкували историческият процес като цялостен, посредством техниката на уейвлетите, се извежда неговият смислен характер на сигнал. Тази техника успява да постигне това, понеже уейвлетът е начинът да се представи фундаменталният исторически избор, чрез който процесът да бъде разбран като сигнал. Така може да се покаже също и връзката, както и решаващата роля на понятието за информация като количество избори, т.е. за оценка на глокалния, глобално-локалния характер на историческия процес.

Величината на информацията свързва две реципрочни величини, едната от които – тази, която по модул е по-малката от единица – е или може да се тълкува като вероятност. Заедно с това стои под знака на логаритъм, т.е. − като брой избори. Двете реципрочни величини представят локалния и глобалния характер, като очевидно между тях е валидно съотношение за неопределеност, тъй като тяхното произведение е винаги по-голямо или равно (равно е в случая на ентропия) на единица (която е естественият математически „квант“). Коя от двете реципрочни и в този смисъл симетрични величини е съпоставената с локалния аспект, личи от знака на логаритъма: от една страна, „броя избори“, а от друга – „вероятността“ на локалното, обратно пропорционална на броя избори или на неговата сложност по Колмогоров, т.е. като броя избори, т.е. броя елементарни стъпките на най-добрия алгоритъм, чрез които локалното се получава от глобалното. Случайното е много сложното в смисъла, че се получава чрез много или безкрайно много избори (стъпки на алгоритъм). Така локалното е и естествено кодирано глобално, а уейвлет анализът е призван да разкрие този естествен код, т.е. да разшифрова процеса като сигнал.

Величината на информацията се откроява като възлова, за да открои единството на историческите и квантовите процеси, а също и на фракталните структури, механическите и физическите величини и движения, предаването и обработката на информация в технически, живи и интелигентни системи за тяхното управление като самосъхраняващо се цяло. Като наука за последното през средата на миналия век получи гражданственост терминът „кибернетика“. Нашата позиция добавя философското разбиране за информацията: тя да стои в обединяващата основа на толкова разнороден клас от обекти, а именно като подходящата количествена мярка за конкретната глокалност на част от цяло, на елемент от множество или от система. Посредством нея се откроява аспектът на интелигентност на всичко, което съществува като система. Афористично казано, разумът се появява в пресечната точка на време и битие, на битие и време: от единосъщието на Dazeit и Dazein.

Мерната единица на информацията е битът, една абревиатура на английски за двоична единица, т.е. елементарният избор между две равновероятни алтернативи или възможности. От друга страна, съвременното развитие на квантовата механика и информация ясно показа, че лежащият в основата формализъм на хилбертовото пространство – а видяхме, той допуска питагорейски тип битийно тълкуване, поради „отсъствието на скрити параметри“ – изчерпателно и еквивалентно се представя чрез кюбитове. „Кюбит“ е от една страна квантовото обобщение на „бит“, а от друга, единица за безкраен избор, т.е. за избор между безкраен брой алтернативи и следователно за онази степен на сложност, която е тъждествена на случайност. Така може да заключим, че такъв безкраен избор е самото битие и заедно и поради това − фундаменталната математическа, физическа, историческа, информационна и пр. основа на света.

Уейвлет анализът е частен случай на анализа на времеви редове, насочен към разкриване на глокалния им характер на сигнали. Заедно с това съществуват редица други методи, математически в тесен смисъл, за подобен анализ. За нас е много важен следният въпрос: може ли изчерпателно да се представи историческия процес чрез времеви редове. Отговорът зависи от определението на времеви вид: ако в неговото понятие се включи имплицитен или експлицитен сигнал, съответен на глобалния исторически смисъл, наред с локално подредената последователност във времето, то отговорът е „да“.

Теорията на хаоса е много широко обсъждана като теоретична и математизираща основа на историята, дори за това е изкован не съвсем удачният термин „хаосистория“: ето защо ни освобождава от необходимостта за подробно запознаване. Нашата позиция е да изясним такава „хаосистория“ в рамките на тук изследваното фундаментално математизиране на историята. Изходна точка е изясняване на понятието за хаос, както се употребява в теорията на хаос. Всъщност става дума за съвкупност от множество алтернативни и съвсем различни подредби, които са насложени една върху друга. Но този хаос е детерминистичен в следния смисъл: всяка подредба еднозначно се получава при точно една съвкупност от начални условия. Особеността е че при малки или дори безкрайно малки изменения на началните условия се получават напълно различни подредби. За нас е решаващо да се премине към идеализацията за „безкрайно малки изменения на началните условия“. Общоизвестната метафора за тези безкрайно малки изменения е „пърхането на крилете на пеперуда“, което лавинообразно предизвиква в крайна сметка ураган. Използвайки тази идеализация, „точката на бифуркация“ може да представи фундаментално-исторически избор, от една страна по емпиричен, но заедно с това, от друга, като математически модел (обикновено използващ диференциални уравнения и фазово пространство). С други думи и следва много дебело да се подчертае интенцията на теорията на хаоса да свързва и да проследява разделянето на безкрайно близки математически модел и реалност на две напълно различни и обособени дадености; тоест теорията на хаоса може да бъде мостът за свързване на квантовото питагорейско разглеждане, изключващо разликата между модел и реалност, и класическото, винаги запазващо отчетлива дистанция между тях. Това, което разграничава и заедно с това свързва двата подхода е „съпротивлението на средата“, поради което лавинообразните процеси протичат много, но не безкрайно бързо, т.е. не мигновено, както е при квантовите скокове. Това са дисипативни процеси в материална среда. Съпротивлението на средата обаче може еквивалентно да се представи на квантов език чрез сдвояването (entanglement) на изследваната система със средата. Оттук на теорията на хаоса все пак може да се погледне като на обобщение на квантова за общия случай на неадитивност на очакването на едноименни величини от отдалечени системи: необходимата винаги подадитивност поражда наблюдаваното съпротивление на средата. Отношението на квантовата теория и теорията на хаоса всъщност е доста по-сложно: от една страна, квантова теория представя глокалното, от позицията на глобалното, тъй като в нейните рамки то е емпиричното – това е уредът; от друга, теорията на хаоса описва същото това „глокално“ от противоположната позиция на локалното, тъй като емпиричното наблюдение и експериментът тук се оказва, че е локално. Може да се постулира, че в един метафизичен, метаисторически и метаматематически смисъл те би трябвало да са еквивалентни; и да се покаже, че такъв постулат би имал много общо с аксиомата за избора.

Теорията на хаоса съдържа в обичайно изложение една привидно напълно самостоятелна област – теория на фракталите, − чието свързване с теорията на хаоса обикновено е доста периферно, посредством понятието за странен атрактор. Ще покажем, че при нашия подход връзката между теорията на хаоса и теорията на фракталите произтича от едно фундиращо единство, вече споменато, между теорията на хаоса и квантовата теория, което може да се поясни чрез тълкуване на фракталите чрез уейвлетите, от една страна, а от друга – чрез обобщението на фрактали като мултифрактали, представляващи фрактални функции от мащаба.
Атракторът е съвкупността от подредби или с други думи − устойчивите състояния, към които клони хаосът след достатъчно дълъг преходен период. Ако приемем, че природата естествено е хаотична, то в нея спонтанно ще се наблюдават вече застиналите структури на атракторите. Оказва се, че това наистина е така, но те са преди всичко от типа „странни атрактори“, т.е. с фрактална структура, под което неявно се подразбира общият случай на мултифрактална структура. За разлика от процесите в геологията и биологията устойчивото състояние след завършване на преходния период при процесите в историята не може непосредствено да се наблюдава, но в степента, в която успешно се описват от теорията на хаоса, то следва също да притежава същата, а именно фрактална структура.

Понятието за фрактал се дефинира по два независими начина. Първият е чрез въвеждане на понятие за размерност, различна от топологичната. Най-често срещаният пример е с Хаусдорфова размерност. След това фракталите в собствен смисъл се дефинират чрез несъвпадение на топологичната и другата размерност. Напротив, всички обекти от досегашната геометрия се причисляват към частния случай на съвпадението им. За нас по-евристичен е вторият от независимите начини за дефиниране на фрактали, който е и ключът за осмисляне на първия в термините на безкрайно и крайно. Той се основава на рекурсивно определение, което дава строг повтарящ се количествен израз на самоподобието на фракталните структури по мащаб. Несъвпадение на топологичната и другата размерност ще се наблюдава само при безкрайна рекурсия. Всъщност понятието за рекурсия е водещото и в една привидно съвсем отдалечена област – тази на рекурсивните функции, която е изключително важна за принципите и метода на аритметизацията в метаматематиката, от една страна, а от друга, за теорията на изчислителните процеси, разпознаването на образ и изкуствения интелект. Бихме могло да се посочи връзката между фракталните структури, Гьоделовите неразрешими твърдения, универсалното разпознаване на образ и формалната дефиниция на интелект. Тогава можем да обосновем фракталните структури в природата и историята (например в институционалната структура на обществото) чрез действието на един обобщен Хегелов Разум, отделен и собствено интересуващ ни случай на който ще е неговият „Разум в историята“.

Рекурсивното определение има също така предимството да изявява връзката между фрактали и уейвлети. Нещо повече, може да се твърди, че става дума за едно и също, видяно от различен ъгъл или подчинено на решаването на „права и обратна задача“: фракталът представлява глобалният поглед към глокалната структура, т.е. получена, потегляйки от целостта и безкрайно рекурсивно прилагайки се към все по-малките вложени в нея мащаби на нейните части; уейвлетът е локалният поглед към същата глокална структура, при което изходната точка е локалният „атом“ – уейвлетът, чрез който целостта може да се види като сигнал. От такова разглеждане, в частност, ясно се вижда смисълът на понятието за информация и непосредственото му отношение към формалната дефиниция на интелект. Чрез знака за логаритъм тя изравнява приноса на глобалния с този на локалния аспект в сумата или интеграла от общото им произведение. Количеството информация, дефинирана като взаимната ентропия на локалния и глобалния аспект, на базовата структура и тази на самоподобие, на „майчиния“ и „бащиния“ уейвлет, за съответни фрактал и уейвлет ще се различава само по знак и ще съвпада по абсолютна стойност.

Досегашното обсъждане следва да се обобщи за мултифрактална и съответната уейвлетна структура. Монофракталната структура се получава при преминаване през една точка на бифуркация, докато естествените процеси съдържат множество от такива точки и в резултат ще се получават мултифрактални структури, при което фракталът или рекурсивната функция на свой ред е функция от мащаба. Обратно и много важно, мащабът е функционал от мултифракталната структура. Вълновата функция също определя една мултифрактална структура, а физическата величина е интегралният мащаб на тази мултифрактална структура.

В самата философия на историята, каквато съществува досега, са налице множество концепции и процеси, които имплицитно са в съзвучие с тук излагания питагорейски подход към математизирането на историята. В три други мои работи, които представляваха самостоятелно издадени трите части на „голямата“ ми докторска дисертация, те са изложени и екземплифицирани обстойно. Настоящият текст и по замисъл представлява нейно продължение вече на територията на математическата по питагорейски фундаментална история, а съответно дисертацията е неговата собствено философско-историческа основа. Това позволява само да се маркират няколко водещи концепции, част от които вече са се споменавали досега в изложението. Несъмнено Хегеловата онтология на Разума в това число, особено и в тясна връзка с Разума в историята, съдържа част от интенцията на настоящото изследване. Независим и не по-малко важен източник е Хайдегеровата екзистенциална херменевтика на битие и чрез това на историята в „Битие и време“. В известен, но доста ограничен смисъл настоящата работа може да се разглежда и като синтез на тези две позиции, и като заложеното още от Хайдегер преобръщане към „Време и битие“. Всъщност до голяма степен това е и едно рефлексивно-секулазирано възвръщане и към предхождащата християнска концепция за историята като диалог между Бог и човек, между човек и Бог, между човека в своето екзистенциално битие и човека в не по-малко изконното си историческо битие. Водеща е позицията на уравновесяването между двете начала и тяхното сътрудничество, доколкото и двете се приемат за разумни. В контекста на изследването това е изворът на възгледа за глокалния, глобално-локалния исторически анализ, който позволява същностното математизиране на историята. В тясна връзка е и концепцията на Паул Тилих за специфичното историческо време, „кайрос“, противопоставено на природното – „хронос“. За разлика от последното то е сингуларно, съсредоточено е в особени точки на решаващ избор и представлява въплъщение на тоталността (която като Бог бива интерпретирана като разумна) в отделно и крайно специфично локално събитие. Изобщо идеята за особено, множествено, неравномерно, както дискретно, така и континуално сложно структурирано историческо време, обобщава като частни случаи не само природното физическо, но и чисто субективното време на преживяването. Акцентира се на ‘избора’ и ‘съдбата’, и на екзистенциалния им прочит от Хайдегер. Историческото време винаги е и преживяно, но това никога не го изчерпва и не се изчерпва като екзистенциално. Специален акцент следва да се постави на общата насока на т. нар Школа „Анали“ в историческите изследвания: „бавното време“ на изменения, за което въвеждат термина „longue durée”, както и тясно свързания възглед за „историческите менталности“. Чрез него естествено се фундира цивилизационния подход в историята и така последният се включва в собствено историко-философската основа на настоящото изследване. Не могат да не се отбележи изобилието – повече или по-малко успешни – от математически методи в историческите изследвания, особено в историко-икономическите и историко-демографските, възникването на обособен дял от науката история, за който се изкова терминът „клиометрия“ по образеца на „иконометрия“. Получиха гражданственост протифактовите изследвания, заедно със своята методология и специфичен „манифест“, насочен към науката история. „Математическата история“, „историческата механика“, „хаосисторията“ и др. са концептуални модели за по-решително включване на собствено математически модели в самия фундамент на науката история. Видно е че настоящото изследване само радикализира или изявява експлицитно набиращата скорост радикализация на вливащи се в общо русло множество от често твърде отдалечени или съперничещи си течения.

В традицията на българската философия на историята следва да се подчертае най-близко сходство с възгледите на Асен Игнатов и неговия антропологичен прочит на историята на основа на възгледи на Бердяев и Хайдегер. Всъщност още съчетаването на философска антропология и философия на историята от позиция, която не е атеистична, имплицитно въвежда уравновесяване на две вече не противопоставени през бездната на трансценденцията, а сътрудничещи си начала. Такова уравновесяване, което е и същност на ‘Dasein’, позволява човекът да бъде определен като единствената ни позната емпирична екземплификация на Dasein или като историческо същество. С последното акцентът се пренася от неговото отношение към битието, към неговото конституитивно отношение към времето в равновесие с битието. Следователно той се отнася към битието по два начина − непосредствено и през времето – и тъкмо чрез тази двойственост въвежда в света модуса на тяхното уравновесяване, която имаме предвид и с термина „фундаментална история“. В твърдението, че и „историческо същество“ се откриват два пласта: първият е на отнасянето му към непосредствената история; вторият вече е решаващият, понеже чрез своята дефинитивна отнесеност към фундаметалната история, той е свързващото в света звено между битието и времето. Тяхното уравновесяване е неговото изначално условие за възможност. Оттук неговото специфично битие вече е подчинено и определено от тяхното уравновесяване. Последното се осъществява във времето чрез способността му за избор, чрез която тоталността на битието може да се пренесе в откритостта на времето. Всъщност когато говорим за историческо време в достатъчно изначален смисъл, заедно с това чрез избора изобщо се има предвид и тоталността на историческото битие, а във философско-антропологичен смисъл – способността на човека да избира, която естествено се основава на неговата свобода. От така сцикираната философско-антропологична позиция преходът от фундаментална история към математика е чрез абстрактното постулиране на едно начало, което тя ще е склонна да тълкува като фундаментално-антропологично – има избор. В крайна сметка и с други думи, математизирането на историята не означава отстраняване на темата за човека, особено във философията, в историята и във философия на историята, а я радикализира до степен, която позволява и самата математика да се разбере като една пределна антропология, но без такава интерпретация да се налага като единствена или необходима. Тя позволява да се види математиката като човешко дело, не в добре познатия ни емпиричен смисъл, нерядко оспорван на философски основания, а в пределното време-битийно основание на човека. Така доколкото под това, че той е историческо същество имаме предвид, че е и фундаментално-историческо същество, означава, че е математическо същество. От последното вече се извежда използваното и от Хайдегер определяне като езиково същество. Математиката фундира езика в равновесие между тях чрез човека, което е друг ипостас на конституиращото житието му равновесие между битие и време.

Така кръгът на настоящата работа се затваря в пределната тоталност на херменевтичното тълкуване на тоталността чрез тоталността на времето: на битието чрез времето и на времето чрез битието. Това тълкувание, осмислено като равновесие, е и човекът в неговата същност. Тя е историческа, но ние вече сме разбрали историята по-дълбоко. Ключът е питагорейското Число, една още по-дълбока и по-забравена дори и от битието, възвърнато ни от Хайдегер, същност …

Според този херменевтичен кръг и неговия център – Числото − е образувана простата носеща структура на работата от две части: „Число и битие“, „Число и история“.

Първата част „Число и битие“ е съсредоточена около конкретния проблем за присъединяване на вероятност на единично събитие. Чрез този подстъп се достига до концепция как число може не просто да се съпостави външно на събитие или на нещо, а да е това събитие или нещо – очевидно от питагорейски тип.

Втората част „Число и история“ продължава пътя, следван от първата глава по херменевтичния кръг до възвръщане на Числото в себе си вече отвъд Битието назад във времето към самото себе си като История. Пределността на тази интерпретация ни въвежда в нейната необходимост, единственост и фундаментална единичност. В нейния контекст е просто да се покаже, че съществуващите методи, степени и перспективи за математизиране на историята се вписват естествено …