Васил Пенчев
ЧИСЛО И ЗНАК
Семантично-синтактична интерпретация на Ψ-функцията
Ще обосновем семантично-синтактичната интерпретация като … критика на изобилието от интерпретации на квантовата механика. Наистина защо толкова много? Защо изобщо се налагат интерпретации на квантовата механика, каквито като правило отсъстват за всички останали физически теории?
В началото ще дадем отговора в нашия контекст, след това ще се постараем според силите си да го обосновем, а накрая – да го потвърдим тъкмо чрез вече съществуващите интерпретации на квантовата механика. Но това е само „завръзката“. По-нататък предстои да навлезем в собствената проблематика на тази глава. Нейният предмет е предефиниране на логиката в скицираната вече циклично-холистична парадигма. Как?
Използвайки на̀гледа на семиотичния триъгълник, въведен от Пърс (@), ние ще тълкуваме логиката като особен тип знаковост, произтичаща като всяка знаковост от някаква цялостност, на език и математически структури, фигуративно казано − на ‘думи’ и ‘числа’. Характерно за такъв тип разглеждане на логиката е, че се абстрахираме от ‘нещата’ или само казано по друг начин, можем да предположим нещата предварително съвпаднали с думите по феноменологически в един божествен език или по питагорейски − с числата.
Цялостността, произтичаща от хоризонта на нещата, в една онто-логия е изведена сама за себе си в една логика без оглед на нещата в рамките все едно на дискурс, който обаче съдържа своето друго, числа отвъд думите: ще го наричаме математически дискурс. Логиката се въвежда в математическия дискурс: тя предполага наличието на език, в който да се формулира мета-теория по отношение на математическите структури, но единствено по такъв силно ограничаващ и определящ начин, че математическите структури да бъдат мета-езика спрямо езика, за да може да се постигне търсенето отъждествяване на ‘думи’ и ‘числа’, на език и математика. С това обаче се постига и съвпадение на логика с онтология в горния смисъл: ако съвпаднем двата полюса на сферата според „кюбитовия наглед“ на циклично-холистичната парадигма, то и всяка друга точка, например в нашия пример „полюса на нещата“ може да съвпадне с вече оформения единствен полюс поради цялостността. С това логиката представлява и пределния случай на семиотика на самата знаковост.
И така, за квантовата механика възникват множество интерпретации по множеството имена на полюси, чието изобилие и разнообразие – както вече предположихме – се опитва само по несъответен и неподходящ начин да възстанови цялостността, невъзможна или трансцендентна в двуполюсния модел. Грубо казано, намекът за отказ от интерпретация в т. нар. Копенхагенска интерпретация по дирите на Нилс Бор, подсказва същността на нещата: „виждаме“ нещо странно и необикновено и се опитваме да го оприличим на вещ позната, за да го разпознаем и класифицираме, но то неизменно се противи на нашите опити, оставайки винаги различно, сякаш дори променяйки се в резултат на нашето идентифициране. Все пак ние вече дадохме име и разпознахме изплъзващото се като цялостност, оставаща пределно чужда на фундаменталната европейска идея за аналитична и каузална научност. Последното обаче не може да означава отказ да се изучава: напротив, но трябва да е по подходящ начин, чиято форма постепенно се напипва в повече от век мъчителни търсения в областта на квантовата механика и информация и техните логика и философия.
@@
Сега ще разгледаме време-честотното (= време-енергетичното) преформулиране на функцията на Вигнер, която пък на свой ред не е нищо друго освен запис на вълновата фукнкция чрез термините на фазовото вместо на хилбертовото пространство, осъществено от Вил (1948):
„Пренасянето на комуникационни сигнали се осъществява посредством пренасянето на енергия, изобщо на електромагнитна или акустична енергия. … Не самата енергия представлява интерес, а по-скоро промените в тази енергия в хода на времето. Колкото по-сложна е функцията, която представя, като функция на времето, промяната в напрежението, тока, налягането или някакъв друг носител, толкова по-голямо е количеството на информацията, носено от предаваната енергия” (Ville 1948: 63).
Това е особено важно що се отнася до квантовата информация, гледаща на всички физически процеси като на информационни, които не само пренасят, но и самите те са сигнали. Необходимото условие на такава гледна точка е реципрочността на време и енергия (координати и импулси), предполагана от съотношението за неопределеност на Хайзенберг и следователно, от квантовия, дискретен характер на механичното движение.
Ще обсъждаме вълновата функция като особен вид комплексен сигнал, все едно два пъти модулиран:
„Комплексните сигнали … могат да се разглеждат като резултат от модулацията на тяхната обвивка чрез носител, който е сам честотно модулиран” (Ville 1948: 67).
Много важен за нас е следният извод, направен от Вил:
„Всеки сигнал модулиран чрез достатъчно висока честота може да се разглежда като комплексен” (Ville 1948: 68). Следователно, всеки високо енергетичен физически обект като едно макро-тяло може да се разглежда като такъв комплексен сигнал, „два пъти модулиран”. Може да се обоснове по-подробно разглеждане (Ville 1948: 68).
Склонни сме да разгледаме вълновата функция в квантовата механика аналогично, а именно като сумата от безкрайна последователност на енергетични константи. Всеки сигнал с достатъчно висока честота и следователно такъв, който може да се обсъжда като комплексен, два пъти модулиран, е в действителност достатъчно апериодичен. Една определяща част от него се случва, или може е по-добре да се каже, се случва в момента, в даден времеви интервал, който може да се обозначи като „тук и сега”. Следователно, време-честотният анализ, от една страна, и вълновата функция, от друга, но в тясна връзка с първата, произтича от „материалната частица” на класическия анализ, поняието за която също така помага да се изясни нейният смисъл вътре в много по-широки граници, онези на квантовото обобщение. Материалната частица все още остава локализирана, но вече единствено отчасти отделена, посредством дуалността гладко превръщайки се във вълна и също така, от изолирана и определена част в самата и единствена тоталност. По този начин и напълно по гибсовски, цялото като множество от своите неадитивни части вече еквивалентно се мисли като единството на съответните възможни състояния на цялото, или „света”, евентуално корелиращи помежду си.
Естествен е въпросът, ако сигналът е комплексен, то къде трябва да се разположи „границата” между двете модулации и от какво се определя тя. С други думи, къде е границата между частта от сигнала, пренасяна от амплитудата и амплитудната модулация и нейната алтернативна част, пренасяна от честотата или фазата чрез съответната модулация. Посоката на отговор, следвайки Вил, е следната:
„Пропозицията, която ще следва да се използва, е самата тя непосредствено следствие от факта, че комплексен сигнал се характеризира чрез особеността да има спектър, чиято амплитуда е нула за отрицателни честоти“ (Ville 1948: 68-69).
Посредством вълново-корпускулярните „очила”, предопределящи съответна перспектива, такъв тип отговори има очевидна и проста интерпретация: амплитудата и амплитудната модулация кодира свойствата на частица на един квантов обект, докато честотата и фазата (честотната или фазовата модулация) кодира нейните вълнови свойства. Така се подсказва обобщението на Кохен за функцията на Вигнер:
„Сега питаме какво прави аналитичната процедура в термините на избиране на особената амплитуда и фаза, т.е. какво е особеното относно амплитудата и фазата, което прави един сигнал комплексен? Говорейки изобщо, отговорът е, че спектралното съдържание на амплитудата е по-ниско от спектралното съдържание“ на комплексната експонента (Cohen 1995: 35).
Тогава можем да ограничим спектъра на амплитудата вътре във фиксиран честотен интервал, съответстващ на въведеното по-горе „сега”, чрез следните две стъпки: съответно линейна и произволна време-честотна зависимост (Cohen 1995: 36).
Разделянето, характерно за всеки комплексен сигнал, между част, пренасяща чрез амплитудата, и част, пренасяща чрез честотата и фазата, предлага една нова идея и даже по-решително обобщение, както и произлизаща от нея интерпретация. Осъществено е разделяне между „крайно” и „безкрайно” в аритметичен, теоретико-множествен и метаматематически смисъл или между „синтактично” и „семантично” в логически аспект: напр., числото на амплитудата, бидейки третирано като сигнал и следователно, като кодирана информация на някакъв краен синтаксис или аксиоматично-дедуктивното ядро на определено множество от тавтологии, т.е. като логика (независимо дали в абсолютен или в относителен смисъл, т.е. като „логиката на
След скицирането на обобщението на функцията на Вигнер [“Разпределението на Вигнер, както се разглежда в анализа на сигналите, беше първият пример на свързано време-честотно разпределение …” (Cohen 1995: 136).], чрез което се интерпретира в добавка като сигнал и се придружава от негов време-честотен анализ, бихме подсказали ново представяне на вълновата функция, за да позволи пренасяне на резултати между логиката и квантовата информация. После в частност може да се изследва логическият еквивалент на ‘отрицателната вероятност’. Последната ще бъде разположена на границата между синтаксис и семантика и следователно ще описва прехода между тях.
Логиката, разбрана като формална система, се отнася по-скоро до синтактично представяне като едно крайно множество от правила за построяване на формално правилни твърдения. Обаче това множество е напълно безразлично спрямо ‘името’, или иначе казано, семантиката, скрита зад символа. През 20-и век се разпространи употребата на термини от типа на „логиката на А”. Тук „А” се разбира като една или друга предметна област и следователно като семантика. Оттук, идеята, че синтаксисът зависи от семантиката, е неявно включена и порад това непряко нажда също и на обратното. При това синтаксисът би трябвало да се мисли като логиката, адекватна за въпросната предметна област. Сега ще опитаме да формализираме тази идея, придобила научна популярност, и след това ще покажем, че вълновата функция е изоморфна на подобно формализиране, макар и ново, синтактично-семантично представяне да следва от подобен подход.
Говорейки най-общо, идеята би могла да бъде следната. Комплексният коефициент се преобразува в Гьоделов номер на описанието в термините, които са също така „кодирани” в съответния член на базиса на хилбертовото пространство. Една метафора, която предполага също така допълнителната полезна мисъл за относителността на ‘нещо’ и ‘свят’, може да ни служи като основата за изясняване: разделяме нашия свят на “ортогонални” неща, т.е. без каквото и да е общо сечение между кои да е две от тях, и после да опишем изследвания обект чрез множеството от негови метафори посредством всяко едно от нещата в света.
Като шега, нека направим инвентаризация на ‘заек’ и редът от неща, избрани случайно, чрез които се проявява да бъде уподобен, е: ‘мечка’, ‘къща’, ‘хлебарка’, ‘понятие’, ‘електрон’, и т.н. Коефициентът пред ‘мечка’ ще бъде вероятно най-големият, понеже степента на подобие между ‘заек’ и ‘мечка’ е, да речем, най-високата. Съответно, гьоделовото кодиране на частичното описание на ‘заек’ в “логиката на мечката” ще даде най-високата стойност на коефициента, докато подобието в ‘и т.н.’ чрез все по-ирелевантни неща, респ. коефициентите в термините на все по-малко подходящи метафори ще клони към нула. Така ‘заекът’ е разчленен – най-удобното би било – на проста сума от своите описания във всеки възможен свят: заекът като мечка, заекът като къща, заекът като хлебарка, заекът като нещото “понятие”, заекът като електрон и т.н. Следователно, идеята на хилбертовото пространство при обратно отражение към него чрез този хумористичен образ, ни се представя като един идеален и математически еквивалент на семантична мрежа, определена чрез нейния базис и точните количествени коефициенти за степента на подобие на изследвания обект с всяко от нещата в термините на тази мрежа.
Светът като множеството от неща или от възможни светове може да се обсъжда също чрез математическото понятие за категория. Всяко едно нещо може да се представи чрез всяко от останалите неща и чрез морфизми между въпросното нещо и останалите. Подпространство на хилбертовото пространство ще съответства на някаква категория от такъв тип. Ако кодирането е от тип едно-еднозначно, то също така и това изображение е едно-еднозначно. Посредством фундаменталността на понятието за категория се открива не по-малката фундаменталност и на понятието за хилбертово пространство. Последното е едно-еднозначно кодиран образ на първото, но освен това и нещо повече. Синтактично-семантичната интерпретация на вълновата функция подсказва, че хилбертовото пространство може да се разглежда като кодиран образ също и на обобщението на ‘категория’, лежерно обозначено по-горе като „семантична мрежа”, при която нещата са значенията, а морфизмите между тях са смислите, или синтактичните отношения.
Обратно, ако сме ограничили категориите до топоси, то логиката в обичаен смисъл, като аксиоматично-дедуктивното ядро на всички тавтологии сред множеството от всички смисли (които са вече чисто семантични отношения), може да се определи върху тях. В същото време логиката изобщо, т.е. логиката като универсално и вездесъщо учение, е също така логиката на едно определено нещо, неявно прието за дадено чрез неговите аксиоми. Дълбоката философска същност на понятието за „топос”, самото то служещо за основа на ‘формалната’ или ‘математическата логика’, се състои в позволението да се определи „топология” и оттук, „непрекъснатост” и „прекъснатост”. При такова условие впрочем има смисъл и обобщението на Айнщайновия принцип на обща относителност в духа на квантовата механика.
Отивайки вече на територията на квантовата информация, поради скулемовската относителност на ‘дискретно’ и ‘континуално’, разграничението между ‘прекъснато’ и ‘непрекъснато’ отчасти губи своя смисъл, което ни насочва към престъпване отвъд логиката, може би към или даже в езика като битие:
Нека разделим едно безкрайно множество, напр. онова на целите числа, на две компактни подмножества, така че всеки елемент на първоначалното множество да принадлежи на точно едно от тези две множества. Методът на диагонализацията показва, че съществува необходимо такова разделяне, при което двете подмножества могат да бъдат поставени в едно-еднозначно изображение с първоначалното множество (Пенчев 2009: 306). Ако сме построили ново, вече „актуалистко” представяне на диагонализацията, бихме могли да построим аритметична версия на т. нар. парадокс на Скулем:
Реално число може да се съпостави еднозначно на всяко разделяне от горния тип, нещо повече: така че когато едното от множествата е крайно, реалното число е рационално, но ако и двете са безкрайни, то е ирационално. По-нататък може да покажем, че съществува такова едно-еднозначно съответствие между реалните числа и всички разделяния от този тип. Множеството от всички такива разделяния ще означим с А. Най-накрая е очевидно, че можем да построим друго единствено изображение между целите числа и множеството А. Тъй като композицията от две едно-еднозначни изображения пак е изображение, следователно използвайки „междинна станция”, вече сме построили изображение между множеството на целите числа и това на реалните числа и оттук първото и второто са равномощни.
Забележете, че използвахме „актуалистка” версия на диагонализацията, която в своя първоначален „конструктивистки” вариант беше приложена от Кантор, за да покаже, че кардиналното число на множеството от реалните числа е различен от този на естествените или рационалните числа и тъй като изброимият кардинал вече е бил набеден за най-малкото кардинално число на безкрайно множество, то оттук следва, че това на реалните числа е по-голямо, макар и не необходимо непосредствено по-голямото (следващото) (че то е наистина тъкмо непосредствено по-голямото кардинално число, е съдържанието на континуум-хипотезата, предложена още от Кантор) (Пенчев 2009: 330-331).
В езика като битие числото не е различно от думата и физическата величина на информацията е мярката за единството между думи и числа, но от числовата, количествената страна. Естествен е въпросът – само ще го поставим, но без да му отговаряме, – какво е нейният двойник от страната на думата. Метафората?
Нека споменем също така и въпроса, дали и до каква степен описания в термини, приети за дадени предварително и наготово, може да се разглежда като логиката на ‘името’, резервирано за множеството от тези термини: просто не повече от класа тавтологии, който ще се окаже нараснал в степента, в която променливите се ограничават да приемат стойности само в тези термини. В едри щрихи, ‘
Ако сме способни да построим толкова широко обобщаване или интерпретиране на понятието за хилбертово пространство и негов елемент, вълновата функция, то можем да обобщим или тълкуваме съответно фазовото пространство и отрицателната вероятност, появяваща се при такова обобщение, също много широко посредством обобщаване на функцията на Вигнер, километричен камък по чийто път е неговото обобщение от Кохен . Едно толкова широко разширяване на понятието може да се обозначи като езикова, сигнална или информационна интерпретация.
Съществена е концепцията на Крипке (1975), че точно логическо понятие за истина може да се въведе чрез безкраен синтаксис (надолу ще обсъдя дали „безкрайно” е необходимо), която обаче остава „по-малка” от изглежда актуално безкрайната семантика, т.е. да се прецизира, че в уж семантичната концепция на Тарски за истината съществена е по-скоро безкрайността, при това разбрана конструктивно, отколкото семантиката. Ще си позволя да добавя и едно кратко съждение, което обаче може да бъде свързано с концепцията на Крипке само асоциативно: безкрайността поражда семантика и дори тя е единствената пораждаща семантика. Иначе казано, в нея е скрита или тя е връзката между число и дума.
Обаче това означава, използвайки понятие за истина по Крипке, семантична нестабилност, която е по-интересна от семантичната стабилност (или „валидност”, Lutskanov 2009: 119), т.е., поне една логическа тавтология (закон) не би била валидна на мета-равнище с необходимост. Иначе казано, едно ново име ще се появи “ex nihilo”, преминавайки от краен към безкраен синтаксис, или едно име ще изчезне, което фактически е същото. Понятието на Феферман „рефлексивно затваряне” (Feferman 1991: 1-2) ни помага да изясним кое е синтактичното „ядро”, споделяно от два възможни свята (описания, теории). Допълнението на ядрото до множеството от всички синтактични (аналитични) твърдения в даден свят (от участващите във формирането на ядрото) е семантично (= синтактично) нестабилно по отношение на всички светове (участващите във формирането на ядрото). Можем също така да споменем хипотезата, че няма ординал между Г0 (ординала на Феферман – Шюте) и ε0 (включително случая на съвпадение между Г0 и ε0).
Може да се даде пример с интуиционизма, ако интерпретираме интуиционистката теория на безкрайните множества като метатеория спрямо тяхната теория на крайните множества. Законът за изключеното трето престава да бъде валиден, появява се ново име (семантична единица) на „безкрайното множество”. Семантичната (= синтактичната) концепция за истината е представена заедно с една собствено и единствено синтактична концепция на истината от следния вид: „Засега все още не знаем дали е истина, но все някога ще разберем”. Дали такава концепция за истината е наистина синтактична? Да, тъй като истината се очаква да се получи в крайни експерименти. Бидейки всеки експеримент краен, това ще рече, че ако осъществим неговата крайна процедура (алгоритъм), ще получим определен отговор за това, дали тестваното твърдение (хипотеза) е истинно или не.
Прехвърляйки мост чрез концепцията на Крипке за истината, ние се нуждаем от ново, а именно „семантично-синтактична” интерпретация на вълновата функция в квантовата механика. Това не е много трудно, ако и доколкото онтологията на възможните логически светове, следвайки Крипке, пренася многосветовата интерпретацията на квантовата механика на логически език. Концепцията на Крипке за истината приема границата между синтаксис и семантика като подвижна и това е, което я прави плодотворна, най-малкото според мен. Тогава следва да характеризираме даден възможен свят чрез свойственото само за него нейно място между синтаксис и семантика. Следователно, за всеки два възможни свята ще съществува твърдение, което е синтактично („аналитично”) в един от тях, но семантично („синтетично”) в другия. Самата вълнова функция, интерпретирана семантично-синтактично, описва едно и също нещо, но по различни начини и представя един каталог от всички възможни описания или на всички очаквания относно неговото поведение (Schrödinger 1935 (49): 823-824). Реалността (в обичайния емпиричен или експериментален смисъл на думата) не е самият каталог, а неговата промяна, тъй като последната е инвариантна във всеки от възможните светове, включително също така онези, в които нещото е описано като неистинно или несъществуващо, бидейки точно на онази граница между синтаксис и семантика: граница, която е характеристична спрямо тъкмо този свят.
Семантично-синтактичната интерпретация на фон Ноймановата теорема (1932) относно отсъствието на скрити параметри в квантовата механика съответства на „стандартната” квантова логика, чиято основа той обосновава в същата книга (Neumann 1932: 130-134). Няма нищо, което да може да е истинно само в краен брой от светове, в частност само в един единствен свят. Истина или неистина може да се определи върху крайно количество множества във всеки свят, но само в безкраен брой от възможни светове. Такава стандартна интерпретация се съгласува също така с ‘истината’ по Крипке. Освен това, границата между (а) нещо и (б) (или негов) свят остава абсолютна.
Семантично-синтактична интерпретация на ревизията на Бел (1964, 1966), или с други думи, определянето на границите за валидност за горната теорема би съответствало по-скоро на една „холистична семантика” (Cattaneo, Chiara, Giuntini, Paoli 2009: 193). Ако се въведе взаимодействие на възможни светове, състоящо се в обмен на вероятности (вероятности на събития) по определени правила, респ. между множества от възможни светове, то семантично-синтактичната интерпретация на теоремата на фон Нойман вече не е валидна. Границата на валидност се очертава от липсата на взаимодействие, т.е. те очертават валидността само що се отнася до изолирани възможни светове. Оттук, ако събития протичат в повече от един възможен свят [Това ще рече: Промяната на вероятността или протичането на едно събитие в един от световете променя вероятността за протичане на събитието в друг възможен свят.], то „истина” е възможно да се дефинира за краен брой или даже за един единствен свят, и границата между нещо и свят вече не е абсолютна.
Вече скицираната широка генерализация и интерпретация ни помага да се насочим към обобщението на Кохен чрез философския му смисъл да се управлява разделянето между ниски и високи честоти:
„Следователно това, което аналитичната процедура прави, … е да постави нискочестотното съдържание в амплитудата, а високочестотното съдържание – в члена” на комплексната експонента (Cohen 1995: 36).
Математически такова управление се осъществява чрез „функцията ядро” [kernel function]:
„Походът характеризира време-честотни разпределения чрез допълнителна функция, функцията ядро. Свойствата на едно разпределение се отразяват чрез прости ограничения на ядрото, а чрез изследване на ядрото лесно могат да се получат свойствата на разпределението. Това позволява да се вземат и изберат онези ядра, които пораждат разпределения с предписани, желани свойства. Този общ клас може да се изведе по метода на характеристичните функции” (Cohen 1995: 136).
Това ядро може да се тълкува като филтър, позволяващ да се разделят амплитудата (или времето) и честотно-фазовият компонент помежду им. Обаче може също така да се тълкува като външно влияние на друг квантов обект, т.е. представящо сдвояване или неговата степен в духа на квантовата информация.
Обобщението на функцията на Вигнер (Cohen 1989: 943) е „осъществено последователно (Cohen 1966: 782; 1995: 136)“
@@
Ако непълнотата се обсъжда като разлика между синтактичната и семантичната пълнота, то изглежда философски обосновано и интуитивно ясно, защо семантично релевантните твърдения, за които „не достига” „Гьоделов синтаксис”, са именно относно актуалната безкрайност, с други думи, които са твърдения ‒ или те, или техните отрицания са теореми ‒ от една трансфинитна аритметика. Най-прочутите примери, обсъждани още от Гьодел (Gödel: 1940) ‒ аксиомата за избора и обобщената континуум-хипотеза ‒ явно се отнасят към актуалната безкрайност. Грубо казано, истинните твърдения относно актуалната безкрайност, не могат да получат Гьоделов номер в резултат на операции в една финитна аритметика и остават „неразрешими”.
Отправна точка в текста на Гьодел (1931) ще бъде скицата на доказателството, която той предлага в увода на своята работа (Gödel 1931: 146-151), отделни бележки относно конструктивността на доказателството на основните теореми (Gödel 1931: 189-190; Gödel 1986: 176-178, 177-179; Gödel 1931: 197; 1986: 194, 195), както и нейният контекст, зададен от предшестващата работа (Gödel 1930) относно пълнотата на логически системи. Защо в системи, съдържащи аритметиката на Пеано, за разлика от логическите системи, пълнотата и непротиворечивостта се оказват допълнителни? Дали източникът на подобна непълнота, впрочем и за теоретико-множествените, семантични и пр. парадокси, не е необходимостта, за да е налице „пълнота”, да се включат на метатвърдения по отношение на – в общия случай – безкрайни множества, и поради това неявно разглеждащи ги като актуални цялости? Можем ли да построим съдържателна интерпретация в термини от физиката на теоретико-множествени и особено на семантичните парадокси, които по мнението на различни автори, в това число и на самия Гьодел, третирани подходящо, фундират доказателствата за непълнотата? Макар че няма да наречем тези и аналогични въпроси реторични, те все пак навеждат по посока на определен тип отговори, които в качеството на хипотези могат да залегнат в последващото изложение.
С други думи, неразрешимото твърдение, което построява Гьодел, е, че за всяко едно число може да се реши проблемът дали то принадлежи на множеството от всички числа, за които това (а именно поставеното в курсив в същото това изречение) твърдение не е вярно. Това ни позволява да оценим постигнатото от Гьодел ‒ имайки предвид и цитираната вече негова бележка под линия 14 (Gödel 1931: 175; 1986: 148, 149):
Може да се използва изобщо всяка епистемологична антиномия за едно доказателство за неразрешимост от такъв вид ‒
по следния начин: построен е обобщаващ модел в аритметиката на Пеано вероятно – тук „вероятно” е добавено, за да не обсъждаме възможността настоящето твърдение също така да се окаже или от него непосредствено да следва неразрешимо твърдение – на всички самореференциални семантични и теоретико-множествени твърдения, водещи до парадокс.
Нека сега подходим към логиката в смисъла на съответствие на език и интерпретация, който задава Хилари Пътнам в статията си „Модели и реалност” (Putnam 1980), както и своеобразното ѝ преобръщане в рамките на дуалистичното питагорейство. Неговата изходна точка е следната:
До един момент всички коментатори са съгласни относно значимостта на съществуването на „невъзнамерявани” интерпретации, напр. модели, в които това, което се „предполага да са” неизброими множества, са „в действителност” изброими. Всички коментатори са съгласни, че съществуването на такива модели показва, че „възнамеряваната интерпретация”, или както някои предпочитат да казват „интуитивното понятие за множество” не се „хваща” от формалната система. Но ако аксиомите не могат да хванат „интуитивното понятие за множество”, би ли могло да се допусне? (Putnam 1980: 465).
Той предлага по-нататък свое тълкувание на това общоприето описание на състоянието на нещата. Неговата същност е в съпоставяне на невъзнамеряваната интерпретация и неизброимите множества, от една страна, и възнамеряваната и изброимите множества, от друга, респ. с реалността и моделите в езика, след което оценява вече така изтълкувания от него парадокс на Скулем като твърде тежък и дори може би решаващ довод срещу философската концепция на реализма, предполагаща повече или по-малко строго съответствие между модели и реалност. Пътнам изяснява съотношението на възможните отговори в рамките по-скоро на философия на математиката като довод в полза на крайните макар и противоположни варианти на платонизма и верификационизма, при което – поради атаката срещу съответствието – или математическата реалност, или моделите се еманципират: респ., или семантиката, или синтаксиса. За да изясни проблема, той се позовава на аксиомата за построимостта [constructability], известна в литературата на кирилица и като „аксиома за конструктивността”, предложена от Гьодел през 1938 г.:
Аксиомата „V = L“. Тук L е класът от всички построими множества, тоест, класът от всички множества, които могат да бъдат дефинирани от определена кон-структивна процедура, ако претендираме да разполагаме с имена за всички ординали, колкото и да са големи. (Разбира се, този смисъл на „построимост” би бил анатема за математиците конструктивисти.) V е вселената от всички множества. Така „V=L“ тъкмо казва: всички множества са построими. Чрез разглеждане на вътрешен модел за теорията на множествата, в който „V=L“ е истинно, Гьодел е в състояние да докаже относителната непротиворечивост на ZF и ZF плюс аксиомата за избора и обобщената континуум-хипотеза (Putnam 1980: 467).
На основата на приведените по-рано пасажи и доводи от Генцен, който определя себе си не просто като конструктивист, а като финитист, бих възразил единствено на вметната бележка, че предлаганият смисъл на построимост е „анатема” за конструктивистите. Всъщност принципът на неограничената трансфинитна индукция приема аксиомата „V=L“ за предпоставка и отива по-нататък: валидното за V e валидно за L, чрез което заобикаля прякото разглеждане на опасното „множество от всички множества”. Наистина финитизмът се ограничава до ординали строго по-малки от ε0 и съответно само до аксиома за изброимия избор. В неговите рамки може да се предложи аналогична аксиома за изброимостта: всички множества са изброими, „A=L“. Ако си позволим да преминем през L (т.е. да използваме транизитивност на „=“ през L), „класа от всички множества”, ще можем да твърдим: „V=A=L“, всички (построими) множества са изброими. Чрез това се оголва както дълбоката основа на парадокса на Скулем, така и фактът, че става дума за истински парадокс в степента, в която това се отнася до превърналото се в нарицателно за антиномичност „множество от всички множества”. А именно парадоксът на Скулем следва непосредствено от транзитивност през последното, и то не само по отношение на Гьоделовата „построимост”: нещо повече, какъвто и да е предикат за множеството (или класа) от всички множества L след прилагане на транзитивност през L се отнася и до изброимите множества.
Чрез горното се оказва „проблемът решен” (Putnam 1980: 481-482), преведено на по-строг, теоретико-множествен език от собствено философската аргументация на Пътнам, според която това, което се пропуска, е, че по определение езикът винаги има интерпретация:
Това е фаталната стъпка. Да се приеме теория на значението, според която език, чиято пълна употреба е определена без да има нещо [за което да се отнася] ‒ напр. неговата „интерпретация” ‒ е да се приеме проблем, който може да има само налудничави решения. Да се говори сякаш това ми е проблемът: „Зная как да използвам езика, ама, сега, как ще посоча интерпретация?” е да се каже безсмислица. Или употребата вече фиксира „интерпретацията”, или не може нищо (Putnam 1980: 481-482).
Очевидно, за да се гарантира априорната валидност на последното твърдение във всеки един случай, т.е. за да постулираме „Всеки език има известна интерпретация”, трябва да приемем прехода през L (на философски език: през света като цяло от своите части), с други думи да приемем съществуването на света едва след което употребата на всеки един език престава да бъде „безсмислица” и проблем, за който „може да има само налудничави отговори”. Ясно е, че декларираното от Пътнам поражение на реализма чрез парадокса на Скулем и преминаването му поради това под знамето на верификационизма е само реторичен, тактически ход в дискусията, едно своеобразно ораторско доказателство от противното в полза на реализма.
От нашия контекст обаче се вижда, че реалисткото приемане на света (както впрочем и нереалисткото му отхвърляне) e неразрешим проблем (без да е противоречие) и приемането на което и да е решение води до каскада от неразрешими проблеми, които, честно казано, заедно с опитите за привидното им решение (eдин от които е и т. нар. първа теорема за непълнотата) представляват предмета и историята на философията.
Участта на тази неизбежна философска едностранчивост ‒ да се предлагат решения за неразрешимото ‒ няма да отмине и защитаваната в настоящата работа концепция за „дуалистичното питагорейство”. Наистина, може да се построи собствено (вътрешно) математическа теория на измерването, чрез която в експерименти да се решава за реалната математика и метафизика на нашия свят. Заедно с това обаче, цената, която ще платим, е, че самият свят ще загуби стопроцентовата си реалност; отчасти, и то в неопределима степен, ще се виртуализира: явление, сред което вече всъщност живеем.
С помощта на изложената по-рано версия на парадокса на Скулем също така можем да построим своеобразен аритметичен модел на сдвоените състояния и да се освободим от парадоксалността на ситуацията (независимо дали реална или мнима) като приемем, че всички състояния „в повече” над изброимите са в съществена част съвпадащи, т.е. сдвоени. От тази гледна точка съществуването на сдвоени състояния необходимо следва от парадокса на Скулем и следователно от аксиомата за избора, съчетана с конструктивисткото броене, т.е. в общата област на актуализма (формализма) и конструктивизма, в която, посочихме, т. нар. първа теорема за непълнотата е неразрешимо твърдение:
В рамките на изброимостта, в която се включва финитността на всяко реално измерване, (напълно) сдвоените състояния могат да се приемат за едно и също. Тяхната различност в рамките на актуализма се представя чрез отдалеченото им и следователно решително несъвпадащо тяхно разположение в пространството (респ. във времепространството на теорията на относителността). Очевидно могат да се прокарат отчетливи паралели между „непарадоксалните” ‒ или по-точно, непарадоксалните аспекти на ‒ парадоксите на Скулем, от една страна, и на Айнщайн ‒ Подолски ‒ Розен, от друга, кулминиращи в единното, в т.ч. и философско разглеждане на самообосноваването на математиката и на квантовата информация.
Съмненията и въпросите около теория на множествата и обосноваването на математиката доскоро изглеждаха напълно абстрактни, собствено математически или дори философско-метафизични. В действителност обаче се оказва, че те имат ясна физическа интерпретация посредством модели в квантовата механика и информация и следователно допускат експериментална проверка, най-малкото в същата степен и смисъл, в които може да се твърди, че опитите и явленията в областта на общата теория на относителността могат да служат за проверка относно „реалната геометрия на нашата вселена”. Аналогично, чрез квантовата механика и информация можем да поставяме въпроси за „реалната математика” на нашия свят, напр. за включването или изключването на аксиомата за избора, а също така и за (само)обосноваването на математика, т.е. за връзките, може би дуални, между математика и метаматематика. Обратно, доскоро полуемипиричната или най-много приложно-математическа теория на квантово-механичното измерване (редукция и декохеренция) имплицира необходимо своя фундаментална структура в областта на съотнасяне на математика и метаматематика. Тези, заедно с редица други, изброявани по-горе в съответния си контекст, са съществени моменти в концепцията на „дуалистичното питагорейство”.
ЛИТЕРАТУРА:
Bell, J. 1964. On the Einstein—Podolsky—Rosen paradox. ‒ Physics (New York), 1, 195-200. (Bell, J. Speakable and unspeakable in quantum mechanics: collected papers in quantum mechanics. Cambridge: University Press, 1987, 14-21). (http://www.ffn.ub.es/luisnavarro/nuevo_
maletin/Bell%20(1964)_Bell's%20theorem.pdf ; http://hexagon.physics.wisc.edu/teaching/2010s%
20ph531%20quantum%20mechanics/interesting%20papers/bell%20on%20epr%20paradox%20physics%201%201964.pdf)
Bell, J. 1966. On the Problem of Hidden Variables in Quantum Mechanics. ‒ Reviews of Modern Physics. Vol. 38, No 3 (July), 447-452. (Bell, J. Speakable and unspeakable in quantum mechanics: collected papers in quantum mechanics. Cambridge: University Press, 1987, 1-13) (http://www.ffn.ub.es/luisnavarro/nuevo_maletin/Bell%20(1966)_Hidden%20variables.pdf )
Cattaneo, G., M. Chiara, R. Giuntini, F. Paoli. 2009. Quantum Logic and Nonclassical Logics. – In: Handbook of Quantum Logic and Quantum Structures. Quantum Logic (eds. K. Engesser, D. Gabbay, D. Lenmann). Amsterdam, ets.: Elsevier, 127-226.
Cohen, L. 1966. Generalized phase-space distribution functions. ‒ Journal of Mathematical. Physics. Vol. 7, No 5, 781-786 (cited or mentioned on the following pages above: VI, IX, XI-XII, XIII, XIV).
Cohen, L. 1989. Time-Frequency Distributions – A Review. – Proceedings of the IEEE. Vol. 77, No. 7, 941–981, 1989. http://www.geo.unizh.ch/oldrsl/research/SARLab/GMTILiterature/Ver09/PDF/Coh89
.pdf .
Cohen, L. 1995. Time-Frequency Analysis. New York: Prentice-Hall.
Gödel, K. 1930. Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. – Monatshefte der Mathematik und Physik. Bd. 37, No 1 (December, 1930), 349-360 (Bilingual German ‒ English edition: K. Gödel. The completeness of the axioms of the functional calculus of logic. ‒ In: K. Gödel. Collected Works. Vol. I. Publications 1929 – 1936. Oxford: University Press, New York: Clarendon Press ‒ Oxford, 1986, 103-123.)
Gödel, K. 1931. Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme I. ‒ Monatshefte der Mathematik und Physik. Bd. 38, No 1 (December, 1931), 173-198. (Bilingual German ‒ English edition: K. Gödel. The formally undecidable propositions of Principia mathematica and related systems I. ‒ In: K. Gödel. Collected Works. Vol. I. Publications 1929 – 1936. Oxford: University Press, New York: Clarendon Press ‒ Oxford, 1986, 144-195.)
Gödel, K. 1940. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Princeton: University Press. (Collected Works, vol. II, New York, Oxford: University Press, 1990, pp. 33-101.)
Feferman, S. 1991. Reflecting and Incompleteness. – The Journal of Symbolic Logic. Vol. 56, No 1 (March 1991), 1-49 .
Kripke, S. 1975. Outline of a Theory of Truth. – The Journal of Philosophy, Vol. 72, No. 19, Seventy-Second Annual Meeting American Philosophical Association, Eastern Division. (Nov. 6, 1975), 690-716. (http://philo.ruc.edu.cn/logic/reading/Kripke_%20Theory%20of%20Truth.pdf ).
Lutskanov, R. 2009. What is the definition of ‘logical constant’? – In: M. Pelis. (ed.) Logica Yearbook’08. College Publishers: London, 111-121 (cited or mentioned on the following pages above: X). (Може да свалите статията от: http://sites.google.com/site/rosenlutskanov/ .)
Neumann, J. von. 1932. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Berlin: Verlag von Julius Springer (http://www.calameo.com/read/000187019bb347837a6bf ). In English: J. von Neumann. 1955. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Princeton: University Press. In Russian: Й. фон Нейман. 1964. Математические основы квантовой механики. Москва: „Наука”.
Putnam, H. 1980. Models and Reality. ‒ The Journal of Symbolic Logic, Vol. 45, No 3, 464-482.
Schrödinger, E. 1935. Die gegenwärtige situation in der Quantenmechanik. – Die Naturwissenschaften, Bd. 48, 807-812; Bd. 49, 823-828, Bd. 50, 844-849. (In English: http://www.tu-harburg.de/rzt/rzt/it/QM/cat.html; превод на руски: Шредингер, Э. 1971. Современное положение в квантовой механике. – В: Э. Шредингер. Новые путы в физике. Москва: „Наука”, 1971, 66-106.)
Ville, J. 1948. Théorie et Applications de la Notion de Signal Analytique. – Cables et Transmission, 2A (janvier), 61-74 (http://qss.stanford.edu/~godfrey/noise_and_information/Ville_Sig_Analytique_Cables_et_Trans_1948.pdf; English translation by I. Selin, “Theory and Applications of the Notion of Complex Signal” – http://www.rand.org/pubs/translations/2008/T92.pdf )
Пенчев, В. 2009. Философия на квантовата информация. С.: ИФИ − БАН.
No comments:
Post a Comment