ЧИСЛА
Първа част:
ЧИСЛО и БИТИЕ
Субективна, честотна (обективна) и единична (сложностна) вероятност: ново питагорейство
Първа част:
ЧИСЛО и БИТИЕ
Субективна, честотна (обективна) и единична (сложностна) вероятност: ново питагорейство
Втора третина на първа част
(Тъй като обемът надвиши разрешения от блог-сървъра, текстът на самата първа част е разделен на три третини: първата третина е тук, а третата - тук. Целият текст може да бъде изтеглен от кой да е от трите адреса: тук или тук, или тук.)
(Тъй като обемът надвиши разрешения от блог-сървъра, текстът на самата първа част е разделен на три третини: първата третина е тук, а третата - тук. Целият текст може да бъде изтеглен от кой да е от трите адреса: тук или тук, или тук.)
И така: вместо единично събитие вземаме достатъчно широка съвкупност, на което то да е представител и проверяваме пропозицията относно него спрямо всеки елемент от нея. Обективната вероятност е отношението на броя на елементите, за които твърдението се потвърждава, към всички елементи {20}:
Теорията на случайността се състои в свеждане на всички събития от един и същи род до известен брой еднакво възможни случаи, това ще рече, до такива, относно които можем да бъдем еднакво неуверени по отношение на тяхното съществуване, и в определянето на броя благоприятни случаи за събитието, за което се търси вероятността. Отношението на този брой към онзи на всички възможни случаи е мярката за тази вероятност, която е не друго, а дроб, в която числител е броят благоприятни случаи, знаменатeл − броят на всички възможни случаи (Laplace 1816: 7; 1902: 6-7)
Следователно можахме да се уверим, че преходът между субективна и обективна вероятност критично зависи от понятието за множество, т.е. от образуването на абстрактна идея от конкретно (бъдещо или неизвестно) събитие и чрез нея разширяването му до множество сходни, вече върху което субективната и съответната обективна вероятност могат да се обсъждат, бидейки опровержими. В предходния анализ пък показахме, че самата идея за множество изобщо изисква неговия особен елемент, то самото, т.е. онези възможности, чиято вариация се забранява като се фиксират в качеството на същност, дефинитивното свойство на множество. В нашия пример същността на „утре“ беше (донякъде произволно) сведена до 31 декември в София и така ние престанахме да се интересуваме от другите дни в годината и места на планетата.
На свой ред особеният елемент на множеството – да припомним – имплицираше питагорейство, макар и в един осъвременен вариант, при който Числото е, фигуративно казано, едната половина на нещата, като отношенията му с другата, по-скоро биха могли да се опишат чрез въведените от философията на квантовата механика допълнителност или дуалност.
Да подчертаем факта, че докато едно крайно множество може да се зададе също и чрез изброяване на елементите, то единственият начин за въвеждане на безкрайно е чрез характеристичното му свойство. Следователно понятието за безкрайно множество е собствено това, което изисква особения елемент, който притежава всички необходими и нито едно друго свойство. Това ни навежда към твърде интересна връзка, която засега ще изкажем като най-обща философска хипотеза:
Числото се обосновава от безкрайността. Смисълът е, че макар числото да може да се обоснове и по други начини, то въвеждането на безкрайност (под формата на безкрайно множество) изисква Числото в качеството на нейния ейдос, чрез който тя може да се определи и да се обсъжда по неметафизичен, научен път, т.е. посредством опровержими твърдения.
Именно оттук бихме желали да изведем едно фундаментално свойство на безкрайността спрямо субективната и обективната вероятност: тя е точката, в която двете могат да се слеят и поради това да бъдат отъждествени. Но това е една недостижима емпирично точка и по този начин отново за пореден път пространството на класическата система се легитимира, този път между субективна и обективна вероятност, доколкото между двата полюса е емпиричната невъзможност и разривът на безкрайността.
Ще го покажем обаче първо на основата на обичайните представи:
Ако вземем редица от множества с увеличаващ се брой елементи, но с едно и също характеристично свойство, то обективната вероятност се стабилизира, т.е. с увеличаване броя на елементите обективната вероятност клони към точно определена стойност, която се приема, че се достига при безкраен брой елементи. Същото положение на нещата по-често се среща формулирано под формата на брой опити (реализации) на даден експеримент: напр. подхвърляне на монета, за да се установи вероятността да се падне „ези“ (цифрата на монетата). Посредством множество обаче се поддава на обобщение по очевиден начин и за случая на континуум и интервал (геометрична вероятност). Съществува и закон за големите числа, която фиксира и бива доказан строго математически споменатото по-горе клонене на обективната вероятност към точна стойност когато, елементите (опитите) сами клонят към безкрайност {21}.
Бихме могли да повторим процедурата и за субективна вероятност, при което увеличаващото се множество да е от (експертни) мнения по един и същи въпрос, напр. дали утре (1 януари 2011, в София) ще вали дъжд. Интуицията подсказва, че ако анкетираните са наистина експерти, т.е. компетентни по поставения въпрос, колкото по-голяма е съвкупността им, толкова по-точен ще е техният колективно обобщен отговор, понеже индивидуалните пристрастия или грешки взаимно ще се неутрализират, бидейки случайни отклонения. Можем ли обаче да твърдим, че съществува един аналогичен закон на закона за големите числа, но сега за субективната вероятност?
Да, в следния смисъл: ако вземем произволна пермутация на сходяща (следователно безкрайна) редица, тя е не само сходяща, но и към същата стойност. Следователно изискването да са експерти трябва се формализира така: трябва да съществува съответствие между множеството на експертите и на опитите. Необходимо ли е да е взаимно еднозначно, т.е. всеки експерт да предсказва не само опитно възможна, но и различна стойност? По-скоро не, трябва да се изключи само да не се „наговорят“, т.е. становищата им да са независими, неповлияни един от друг.
От приведения довод личи веднага, че именно, че само безкрайността е гаранция становищата на експертите и резултатите на експериментите строго да съвпаднат. Но точката на пълно съгласие остава хипотетична и недостижима, тъй като безкраен брой опити или експерти са еднакво невъзможни.
В тази връзка можем да припомним забележителното твърдение на Бруно Латур, че Богът чрез своята трасцендентност е (четвъртата) гаранция на „модерната конституция“ (Latour 1991: 56-59 [Latour 1993: 32-35; Латур 2006: 98-101]). Бихме го перифразирали в нашия контекст така: транцендентността на безкрайността е гарантът на двуполюсната епистема, пораждана от истината – adæquatio. Току-що за пореден път можахме да видим как.
Новото питагорейство няма нужда да отхвърли Бога, а само неговата трансцендентност, т.е. да се насочи към неговото познание: след философията и теологията да стане строга наука. Но познанието на Бога е невъзможно в класическата епистема, фундирана именно в неговата трансцендентност, следователно непознаваемост. Самото поставяне на въпросите за познанието на Бога, на първо място как е възможно или съвсем по кантиански, в каква човешка способност, неминуемо води не до разрушаването на класическата епистема и погребението на истината като adæquatio, но преди всичко до съзидателното ми, всетворящо преобразуване в нови не просто форми и дори не само битие, а до нова епоха в „историята на битието“, с термина на Хайдегер.
Новата епоха в „историята на битието“ е тъкмо вече самата „история като битие“, или ако се използва термин, съответен на Хайдегеровата „фундаментална онтология“ (Heidegger 1977: 15-20 [§ 4]) – „фундаменталната история“ (Пенчев 2008: 98-133). Тогава и въплътената тук цялост, Dasein, ще има двойник – Dazeit, грубо казано, вечност, която се реализира в момента (Пенчев 2008: 113-118). В контекста, можем да се ограничим до общата същност на абстракция, измерване и случване, както и да набележим перспективата за тълкуване на историческия процес (обща теория на историческия процес) чрез формализма на квантовата механика и информация, също и в парадигмата на „разума в историята“. И в трите случая става дума за забрана на вариацията на някои възможности в една по-голяма съвкупност от възможности, което може да се онагледи или представи чрез проекционен оператор в някакво векторно пространство, каквото е Хилбертовото.
Всъщност това е революционната идея на фон Нойман (Neumann 1932: 130-134) за отъждествяване на пропозиции относно квантова система с проекционни оператори в Хилбертово пространство. Доколкото чрез последното може да се представи – с помощта на общоприетото днес физическо тълкувание на Ψ-функцията, предложено от Макс Борн (Born 1927D; 1927P; 1926; Born, Fock 1928; Born 1954) – и обективната вероятност, по-специално разпределението на вероятността да се измерят различни стойности на една квантовомеханична величина, то Хилбертовото пространство се оказва „философският камък“, който може да замени безкрайността от класическата епистема като посредник между̀ или точката на сливане между субективната и обективната вероятност, за да може да съвпадне числото, приписвано на едно твърдение (относно квантовата система), т.е. субективна вероятност, с числото, което е резултат от експерименти и показващо в колко случая от тях се наблюдава дадена стойност на определена величина. Тъкмо поради съвпадението на субективна и обективна вероятност в единичен или краен брой опити, ще се използва специален термин, „квантова вероятност“.
Преди да преминем към по-детайлно обсъждане на подхода на фон Нойман за квантова пропозиция, се налага да изясним, особено в нашия контекст, понятието за „скрит параметър“ („скрита променлива“ ще бъде синоним), изиграло ролята на крайъгълен камък, или дори на „препъни-камък“, в дебата около основите на квантовата механика {22}, ролята и осмислянето на случайността в нея, превърнали се в глобален културен факт в нашето съвремие чрез прочутата фраза на Айнщайн: не вярвам Господ да играе на зарове. Решаващо ще бъде да уточним връзката на случайността – а в перспектива и на ‘сложността’ – с ‘квантовата вероятност’, със съвпадението на субективна и обективна вероятност в единичен опит, за което и ще ни помогнат “скритите параметри“.
Основание те се допуснат в квантовата механика е че половината координати в конфигурационното пространство винаги остават неизвестни в сравнение с класическата механика според съотношението за неопределеност на Хайзенберг (напр. von Neumann 1932: 107-108). Тогава изглежда сякаш естествено да се предположи, че квантовата механика не е пълна и вероятностите в нея са всъщност статистика на тези отсъстващи в описанието и затова „скрити параметри“.
Но има и по-дълбока причина, доколкото произтича от самата класическа двуполюсна епистема: вероятността във физиката, тъй като тя е обективна наука, трябва винаги да е обективна, т.е. тя винаги може да се представи като – понеже произхожда от – статистиката на елементите на някакво достатъчно обширно множество. Ако се използва като евристичен, такъв принцип изисква зад квантовите вероятности необходимо да се открие това именно множество, чиято статистика те се явяват.
Нещо повече, в превърналата се вече в нарицателно име статия на Айнщайн, Подолски и Розен (Einstein, Podolsky, Rosen 1935) се показва, че от отсъствието на скрити параметри в квантовата механика следва особено „действие“ на разстояние, сдвояването (entanglement), изразяващо се в ограничаването степените на свобода на отдалечен микрообект. Неговото емпирично потвърждаване породи дисциплината квантовата информация в качеството на своеобразно, имплицитно присъствало обобщение на квантовата механика. В концептуален план то предполага субстанционализиране на вероятностите, което явно противоречи и на полюса на обективната вероятност, и чрез това и на самата двуполюсна познавателна схема, поне що се отнася до нейното приложение в квантовата механика и информация. Наистина, хипотезата за „скритите параметри“, която изисква всяка вероятност във физиката да е статистика на нещо, влече, че именно това нещо е субстанцията, а вероятността е само свойство на достатъчно голямо количество от това нещо.
Заради класическата епистема и вторично поражданото от нея съответствие на субективната с обективната вероятност, ние обсъждахме първата по модела на втората, а именно като някаква статистическа съвкупност, различаваща се от обективната само по естеството на своите елементи: за субективната – експертни становища, както пък за обективната – опити.
По самата си природа, обаче, обективната, респ. субективната вероятност не изисква необходимо тази интерпретация (тя беше привнесена тъкмо вторично, заради симетрия със и от обективната вероятност), тъй като остава валидна и за едно единствено мнение, което е спорно дали може да се твърди за един единствен опит, що се отнася до обективната вероятност:
Всъщност при опита за отговор на този въпрос отново бихме се сблъскали с един типичен философски, а и метаматематически, следователно също така логико-математически проблем, а именно: остава ли даден обект тъждествен на себе си, ако неговият контекст се промени. Вече сме поставили и обсъждали този въпрос в друга връзка (Пенчев 2009: 208 и сл.). Спецификата в конкретния случай идва от това, че, първо, вероятността е свързана с понятието за избор (по-подробно, Пенчев 2009: 60-63) и „изборът“ „между“ едно единствено събитие изисква специално обсъждане, ако изобщо се допусне, и второ, какъв е статутът на още неосъществени опити, напр. отложени за бъдещето. Ако се върнем към концептуалната рамка на класическата аксиоматика на Колмогоров (Kolmogorov 1933, § 1, особ. аксиома III), това ще рече как да тълкуваме (елементарните) събития: като действително случили се (в миналото и настоящето) или като можещи потенциално да се случат в бъдещето. Засега ще се ограничим само с поставянето на тези въпроси. Те обаче, разбира се, биха задали по-широк контекст на и на самия проблем за отношението на субективна и обективна вероятност.
Би ни се наложило да използваме своеобразен оксиморон, „обективна субективна вероятност“, ако продължавахме да се придържаме към двуполюсната познавателна схема, каквато би следвало да приписваме на особения елемент на едно множество – то самото. Действително, доколкото става дума за единичност, то не може да му се приписва обективна вероятност, но доколкото съответства на цялото множество, на неговата цялост, тя не може и да е субективна, в смисъла на произволно отклоняваща се от реалното положение на нещата: напротив, съвпада с него. За такава ситуация, макар и принудени или вдъхновени от квантовата механика, малко по-горе въведохме понятието „квантова вероятност“, подразбирайки именно обективна вероятност на единично събитие.
Току-що направеният анализ обаче ни позволи да открием зад квантовата вероятност „спотайващ“ се особеният елемент на множество, то самото, неговата цялост. Поради усилията на множество изследователи, водещи начало от основополагащите физически и философски работи на Шрьодингер (напр. Schrödinger 1935 и мн. др.), днес твърдението за холистичния характер на квантовата механика се е превърнало в труизъм, но и в някаква „мантра“ без ясен смисъл. Под „холистичния характер на квантовата механика“ ние ще имаме предвид нещо прецизно формулирано: необходимостта да се постулира съществуването на особения елемент, целостта за всяко множество от квантови елементи и в определен чрез това смисъл ще използваме ‘квантово множество’.
По-рано в изложението имахме възможност да покажем, че квантовите вероятност или множество неизбежно ще имплицират – чрез посредничеството на особения елемент на множество − новото питагорейство, скрита изначална числовост на света, за да могат да бъдат осмислени.
Очевидно е вече, освен това, че те са несъвместими с хипотезата за „скрити параметри“. Този резултат е получен чрез извод от някои предпоставки на квантовата механика също от фон Нойман (Neumann 1932: 167-170) и известен като теорема за отсъствие на скрити параметри в квантовата механика. Неговата работа ни дава естествения контекст да разгледаме тълкуванието на теоремата във връзка с въведеното пак от него и пак в нея (Neumann 1932: 170-174) интерпретиране на проекционните оператори в хилбертовото пространство като съждения относно квантов обект (система):
Същността на проекционния оператор във всяко пространство, в т.ч. и в Хилбертовото е тази, че стойностите по част от измеренията се забраняват, като се фиксират и при това обикновено конвенционално се приемат за нула. Това ни дава ключа за аналогията с понятието за множество: всеки негов елемент може да се представи като съответна поредна проекция върху подходящо подбрано семейство от хиперравнини в (Хилбертовото) пространство. Особеният елемент лесно се дефинира като ортогоналната проекция, която е и с най-малката възможна дължина.
Виждаме, че така математически се моделира освен ‘пропозиция за квантова система’ също и ‘абстракцията’, ‘измерването’, ‘историческото случване на събитие’, а сега искаме да подчертаем и ‘инвариантността’ (напр. на физическите закони). Общото за всички тях, както и за проекционния оператор, е ограничаването степените на свобода, което става като част от тях се фиксират или се отъждествяват в клас на еквивалентност. Според традицията на познанието, в този абзац използвахме отново двуполюсната схема, този път като ‘модел и реалност’.
Всъщност обаче следва да мислим т. нар. математически модел на проекционния оператор, като същност, като особения елемент на множество от понятия от различни дисциплини, т.е. на своеобразно мета-понятие или по-добре, категориално понятие, може просто „категория“, като конотациите с понятията за категория във философията и особено в математиката, в теорията на категориите не са само добре дошли, но съзнателно търсени. Понятието за проекционния оператор следва да се самоприложи, за да обоснове себе си и така да покаже математиката като особения елемент на света, в частност математическия „модел“ на всяка категория, мислена било то философски, било то математически, било то като съвкупност на понятия от различни дисциплини с обща същност.
Сега ще се върнем към образеца, който ни задава квантовата механика, за да осмислим връзката между обективна и субективна вероятност, която се вплита в същността на ‘квантова вероятност’. Първо ще предложим наготово извода, като своеобразна теорема, а после ще проследим пътя, по който се достига до него, подобно на едно математическо доказателство:
Квадратът на вероятността да се измери дадена стойност на величина в дадена квантова система е пропорционален на сумата от квадрата на неограничените и от квадрата на ограничените при измерването степени на свобода. С други думи, колкото са повече неограничените и колкото повече са ограничените степени, толкова по-голяма е вероятността да бъде измерена тъкмо тази стойност. Тъй като двата фактора – неограничените и ограничените степени на свобода − се движат в противоположни посоки, то винаги ще има една стойност, чиято вероятност да бъде измерена е максимална, а разпределението на вероятността за измерване на различните стойности на величината ще очертава характерната камбановидна крива. Нещо повече, ако ги приемем като стойности на случайна величина, то Ψ-функцията на квантовата система, в която се измерва величината, може да се представи просто чрез характеристичната функция на тази величина, разгледана като случайна. Това следва почти непосредствено от подхода на Бартлет (Bartlett 1945).
Ако използваме подхода на многосветовата интерпретация на квантовата механика, можем да мислим „ограничените степени на свобода“ като ‘световете, в които тази величина не може да се измери’, но алтернативно и като ‘световете, в които има точно тази стойност’. Очевидно, в първия случай ограничените степени на свобода биха били едни същи за всички измерими стойности на величината и би изразявал „гледната точка на уреда“, а във втория − характерни за всяка конкретно измерена стойност и съответно, „гледната точка на квантовия обект“. Нашата обща цел, разбира се, не би могла да бъде открием „хитрия“ начин да се възстанови двуполюсният модел в квантовата механика чрез подходящо преименуване на полюсите, напр. уред и квантов обект, или вълна и частица, което подсказва, че би трябвало да се търсят условията за съвпадение на наблюдаваните стойности на вероятността при двата подхода. Ще оставим обсъждането на разликите, предпоставките и предполагаемите експериментални ефекти между тях за бъдеща публикация.
Нека само разсеем едно на пръв поглед парадоксално следствие: вероятността да се измери величина, която не се наблюдава в нито един възможен свят е единица. Тъй като обаче е абсолютно ненаблюдаема, нейната стойност трябва се приеме за нулева и математическото очакване за нея е също нулево, следователно и приносът ѝ в общото математическо очакване „по всички светове“ е също нулев. Тази илюстрация е само краен израз на неоправданите страхове от положителния принос в общата вероятност от количеството светове, в които величината не се наблюдава, фигуративния казано от положителния принос на нейното отсъствие в нейното присъствие.
Те произтичат от едно общо заблуждение за начина на съотнасяне на математическото очакване на благоприятните и неблагоприятните алтернативи. Ние дефинирахме обективната вероятност като отношение на благоприятните към всички, следователно към сумата от благоприятните и неблагоприятните алтернативи. Но математическото очакване на едновременното реализиране на благоприятна и неблагоприятна алтернатива (поне ако е валиден логическият закон за непротиворечието) е нула, т.е. тези две математически очаквания трябва да се приемат като ортогонални, докато самият им брой – на благоприятните и на неблагоприятните алтернативи – остава „колинеарен". Приносът на ограничените степени на свобода, респ. на „невъзможните светове“ за реализираната възможност произтича именно от ортогоналността на математическото очакване на ‘възможно’ и ‘невъзможно’: т.е. от приемането, че всяко нещо е или възможно, или невъзможно във всеки конкретен свят.
Сега да проследим пътя на разсъждение, чрез който се достига до горната „теорема“:
Според стандартното определение на величина в квантовата механика, то тя се разбира като математическото очакване за нея, а хипермаксималният оператор, който се асоциира еднозначно с нея представлява тъкмо каталога от стойности, който тя може да приеме. Произведението от вълновата функция и нейната спрегната след неговото нормиране дава тъкмо вероятността да се измери съответната стойност (т.е. пред едноименния член на базиса) от „каталога“ на оператора. С други думи, ние сведохме въпроса до направената вече по-горе интерпретация на реалната и имагинерната част на всеки адитивен член на Ψ-функцията съответно като математическото очакване на благоприятните и неблагоприятните алтернативи. С това кръгът на доказателството се затвори.
Можем вече да навлезем в конкретния механизъм, чрез който се реализира наглѐд странното съвпадение на субективната и обективната вероятност в квантовата. Ключова е интерпретацията и доказателството на фон Нойман на проекционните съждения като оператори. След нея субективната и обективната вероятност се оказват въвлечени в един и същ правоъгълен триъгълник за всяка възможна стойност на величината (компонент на хипермаксималния оператор). В него субективната вероятност е представена чрез хипотенузата и единия катет (компонентът на проекционния оператор), а обективната – чрез двата катета. Съвпадението произтича именно от това, че се отнасят към един и същи триъгълник. Оставаше само да изтълкуваме катетите като ортогоналните очаквания за благоприятните и неблагоприятните алтернативи на дадено събитие (измерване).
Преминаването от количеството неблагоприятни алтернативи към математическото очакване за тях и ортогоналността му спрямо това на благоприятните ни наведе на необикновената философска идея за позитивния принос на небитието към битието. Само по себе си то не допринася, но съчетано с битието води до твърде същественото му увеличаване. Подходяща алюзия, и то по същество, е към възгледа на Гадамер за прираста на битие в образа (Gadamer 1960: 133-134).
В областта на теорията на вероятностите пример дава начина на въвеждане на субективна вероятност от де Финети като обзалагане между алтернативите за настъпване или не на събитие (de Finetti 1937: 27-28). В математическото очакване за печалба от облога независимо от коя от двете залагащи страни принос има и загубилата. Доколко физическа величина в квантовата механика се дефинира именно като математическо очакване, принос към нейната стойност имат и нереализиралите се в конкретното измерване алтернативни стойности, които са с ненулева вероятност.
В нашия контекст тази идея следва да се отнесе към целостта, респ. към холистичния стожер на квантовата механика. Тъкмо съотнасянето на целостта с нейното обкръжение води до „прираст на битие“ в целостта, след което тя се оказва повече от сума на своите части. Обкръжението се включва като нов тип, нестандартни части на изследваната цялост, чрез което тя придобива статут на тоталност по един парадоксален начин, запазвайки своята ограниченост и в този смисъл крайност. Подходящ е философският модел на екзистенциала Dasein като тук-битие, в смисъла на тоталност, въплътена в целостта на една ограниченост. Същият прираст на битие и произтичаща от това неадитивност както на стандартните, така и на обобщените, включващи нестандартните, части откриваме в явленията на сдвояване, обект на дисциплината квантова информация. Като фундаментално основание на всички тези необикновени ефекти можем вече да посочим небитието в качеството на равноправно начало на тоталността. Можем също да проследим, че двуполюсната опозиция ‘битие – небитие’ се е преобразувала в тяхното сътрудничество за общо дело, но в качеството на такова встъпва само това на битието.
Все пак бихме могли донякъде да примирим квантовите и класическите статистически възгледи, ако разгледаме статистически ансамбъл, респ. множество, но от необичайни елементи, каквито са времевите моменти или стойности на физическа величина в различни моменти. Смущаващото при тях е че актуално е даден винаги само един от тях, което позволява той да бъде приравнен с „особения елемент на множество“, изискван от нас. Това приравняване всъщност е известно във философията, представлявайки отъждествяване на настоящето с времева тоталност, в качеството на каквато обикновено се разглежда вечността. Бихме могли да подчертаем възгледите на Асен Игнатов (1999: 260-264) и в тази връзка цитираните от последния Бердяев и Хайдегер. Бихме могли да обобщим, че отнесено към единосъщата му вечност, настоящето участва като Dazeit в смисъла на тук-вечност, т.е. въплътена в настоящето тоталност на времето. Времето се разпростира по-нататък като конкретния начин на сътрудничество на битие и небитие.
Нека обърнем внимание на връзката на нашите разсъждения с една усилена версия на аксиомата за избора. Аксиомата за избора сама по себе си гарантира, че от безкрайно многото възможни стойности на величината (по-точно, мощността на множеството от тях е равна на мощността на базиса на хилбертовото пространство) може да се избере една, която и се оказва измерената стойност. В случая изборът, осъществен по силата на аксиомата, е случаен. Това произтича от характера на чисто съществуване на стойност, която да може да се измери, гарантирано от аксиомата. Следва да се подчертае, че именно поради това аксиомата не гарантира, че при повторен избор, може да се повтори точно същия елемент.
Но да приемем, че тъкмо това усилено изискване е валидно, и то при обичайно използваното хилбертово пространство с изброим базис. Тъй като, ако изборът може да се повтори, следва, че може да се осъществи произволен краен брой пъти, то това е еквивалентно на съществуването на алгоритъм, който да извършва по еднозначен начин избор на един елемент измежду изброимо безкрайно много. Колко стъпки трябва да има този алгоритъм? Ако за определеност приемем, че на всяка стъпка, като се тръгне от безкрайната съвкупност, избраната съвкупност съдържа половината елементи от изходната, то мощността на множеството от стъпките на алгоритъма би била такава, че мощността на множеството от всички негови подмножества трябва да е изброима. Но каква е тази мощност? Първо, тя е строго по-малка от изброима, тъй като множеството от подмножествата на всяко множество е с мощност по-висока от тази на изходното. Второ, тя не може да е крайна, тъй като мощността на множеството от подмножествата на крайно множество е също крайна. Тогава се оказва, че търсената мощност е по-голяма от всяка крайна, но строго по-малка от изброима. За такава мощност ще използваме термина некрайна. Да обобщим: само алгоритъм с некраен брой стъпки (некраен алгоритъм) може да избере точно определен или предварително зададен елемент от изброимо безкрайно множество. Очевидно избраният по алгоритъм елемент не може да се нарече избран случайно, а избран изключително, а именно некрайно (но не безкрайно!) сложно.
Следователно, при обичайна формулировка на аксиомата за избора и чисто съществуване на избрания елемент, изборът е случаен, но при усилената формулировка и конструктивен избор, той е (некрайно) сложен. Тук се натъкваме за първи път в настоящата работа на прекалената близост или по-скоро условната разлика, на плавния преход между ‘случайност’ и ‘сложност’, на която за първи път обръщат внимание Колмогоров (1969: 6) {23} и Пер Мартин-Льоф (Мартин-Лëф 1966; Martin-Löf 1966A: 3.1 и следв., особ. 3.7-3.14; 1966D), включително и за безкрайни последователности (Martin-Löf 1966A: 4.1-4.16; 1966D: 608-612). По този начин Колмогоровото понятието за сложност е в състояние да прехвърли мост между класическите детерминистични теории (и изобщо детерминизма и каузалността, вече във философски план) и хаоса, нестабилността, непредсказуемостта и вероятността на единично събитие в техен контекст (напр. Vitanyi 2007).
Едно безкрайно интелигентно същество, като каквото обикновено се постулира Бог, би си служило с толкова сложни средства, че те биха се представяли на всяко крайно същество, подобно на човека, като случайни. Така нареченото Провидение би следвало да може да се разгледа като достатъчно (напр. некрайно) сложен алгоритъм. В рамките на шегата, неприемането на квантовата механика от Айнщайн на основание, че Бог не може да играе на зарове, следва да се снеме, тъй като това е само привидно хазарт, а всъщност става дума за изключително (най-малкото некрайно) сложен алгоритъм. Съответно явленията, които тя изучава не са индетерминистични, а изключително сложно детерминистични по начин, който не допуска съществуване на скрити параметри. Те могат да бъдат разглеждани като своеобразен изчислителен процес, осъществяван чрез особен математически модел, квантовият компютър.
На такава основа лесно можем да покажем, че квантовият компютър не може да е машина на Тюринг {24}. В неговия модел битът се замества с кюбит, представляващ произволна, но точно една точка от единичната сфера {25}. Тогава изборът на една от нея, според направеното обсъждане, не може да се направи с краен алгоритъм и следователно от машина на Тюринг с краен номер {26}. Ако обаче изборът се осъществява с произволна предварително зададена точност, то той е възможен за машина на Тюринг (с краен номер).
Тъй като обичайно в квантовата механика се използва хилбертово пространство с изброим базис, тогава то − и поради това и квантовият компютър − може да се представи като изброима съвкупност от кюбитове, а всеки един от тях като машина на Тюринг с безкраен номер {27}, в крайна сметка като изброима съвкупност от изброими съвкупности, за която е известно, че сама е изброима. Изборът на произволен елемент негов елемент, може да се осъществи с некраен алгоритъм. Това положение на нещата може да се представи кратко (но поради това и донякъде неточно) чрез твърдението, че един кюбит съдържа некрайно количество битове. Оказва се, че хилбертовото пространство, поне това с изброим базис може да се представи като един единствен кюбит и заедно с това като безкрайна наредена съвкупност от кюбитове. Тази необикновена еквивалентност е заложена още като следствие от неусилената формулировка на аксиомата за избора, според теоремата известна като парадокс на Банах – Тарски (Banach, Tarski 1924: 244).
Време е да преминем към концепцията на Колмогоров за условна ентропия чрез сложност (Колмогоров 1965: 8-11; 1969), за да експлицираме заложената косвено и неявно в техния подход възможност (Martin-Löf 1966D: 612-614) − за вероятност чрез сложност. За целта трябва да разпрострем достатъчно широко, а именно математически, физически и философски, идеята за кодиране, чието значение вече намекнахме чрез съпоставяне на стандартната и усилената версия на аксиомата за избора и произтичащото от това тълкуване на случайността като сложност на някакъв необичаен алгоритъм, който можем да наречем некраен или квантов.
Идеята за кодиране предполага, че най-малкото някои неща, ако не и всички, могат да бъдат еквивалентно заменени или допълнени чрез някакъв алгоритъм, по който могат да бъдат получени по еднозначен начин от нещо друго или от тоталността, прието или приета като дадени предварително. Алгоритъмът в крайна сметка представлява някаква поредица от числа и ако в качеството на такива се вземат най-простите възможни, двоичните, той се оказва поредица от битове или машина на Тюринг, като числото, записано чрез тази поредица, е нейният номер. Може да поставим за обмисляне хипотезата дали този номер, т.е. това число, не е истинното число по отношение на изходния обект или ако като такава е приета Тоталността, дали Числото не е Името на нещото.
Идеята за кодиране може и следва да се обобщи посредством понятията за квантов алгоритъм, квантов компютър вместо машина на Тюринг, квантов бит, или кюбит, вместо бит. За целта в случая ще използваме обобщаване на понятието за представяне на число в бройна система (Пенчев 2009: 220 и сл.). Трябва да покажем начин, по който Ψ-функцията да се интерпретира като число в бройна система с основа eit или еквивалентно – с основа кюбит. В първия случай основата е безкрайна и неограничена, а цифрите са комплексните коефициенти на Ψ-функцията, респективно поредните компоненти на съответния безкрайномерен вектор. Във втория е ограничена до единичната сфера, както изоморфно може да се представи всеки кюбит, съответно „цифрите“ по модул са ограничени в същата рамка и представляват кватерниони, т.е. наредената двойка от двата комплексни коефициента на кюбита, и непосредствено могат да бъдат асоциирани с инерциална отправна система във време-пространството. С това се завръщаме отново към метафората за време-пространството като „touch-screen“ „екрана“ на вселенски квантов компютър, в чийто „процесор“ се обработват не двоични числа, а Ψ-функции. Тази метафора ни помага да осъзнаем кодирането и като естественото програмиране или по-точно, да осъзнаем естествения ход на програмата, който декодира пресметнатото число като образ на екрана – време-пространство.
Очевидно квантовият компютър или квантовият алгоритъм ще са такива, които обработват обобщените числа, т.е. Ψ-функции. Видяхме вече, че те могат да бъдат интерпретирани като машина на Тюринг с поне некраен номер. Това ще позволи всички резултати относно дефиниране на вероятност чрез сложност на двоични алгоритми да бъдат прехвърлени поне концептуално за кюбитови.
Всъщност ние ще въведем понятие за вероятност чрез сложност опосредствано, а именно чрез това за условна ентропия чрез сложност на основата на условна ентропия на обекта, от чиято вероятност се интересуваме спрямо, някаква сложна тоталност, която включва въпросния обект.
Добре е първо да изясним понятието за условна ентропия, въведено обичайно, при което вероятността е не производното, а изходното понятие.
Една от най-ясните мотивации за въвеждане на понятие за (информационна) ентропия е нейната адитивност спрямо частите, за разлика от вероятността (Shannon 1948) {28}. Така ентропията е може би най-простата също безразмерна величина, базирана изключително на вероятности, която е адитивна спрямо всяко възможно разделяне на части. Оказва се, че тя имплицира въвеждане на понятие за сложност като броя двоични или други разряди, необходими за кодиране на реципрочната стойност на вероятността. С други думи, това е дължината на най-късия възможен алгоритъм, която може да избере частта с тази вероятност сред всички.
По-нататък, ентропията се дефинира като сумата (интеграла) от произведенията на вероятност по сложност за всяка част при произволно разделяне на части, в т.ч. и ако „частта“ е една единствена и съвпада с цялото. И така, сложността е онова производно от вероятност понятие, което я допълва по начин да я направи независима от конкретното разделяне на части и следователно ще характеризира само цялото независимо от конвенцията, по която са определени частите му. Освен това понятието за ентропия е еднакво за субективна и обективна вероятност, дори и за всяка комбинация. Тя изисква единствено при всяко разделяне (или поне при обсъжданите) на всяка част, било тя пропозиция или физическо събитие да се приписва число в затворения интервал нула и единица, така че сумата от приписаните числа на всяка част да е единица. Същественото е, че на всяко нещо от цялото се приписва число, а поставеното в курсив допълнение може с подходящи обобщения да изчезне, а числото да е комплексно или дори елемент на още по-слаба математическа структура.
Виждаме, че понятието за ентропия представя достатъчно добре и синтезира питагорейската есенция от понятието за квантова вероятност.
Условната ентропия е съвместна, но асиметрична ентропия на две събития (части), която се определя като ентропията на A при условие, че е налице (настъпило е B). Тя зависи от вероятността на A и вероятността за съвместното настъпване на A и B. Ако в качеството на B се разгледа самото събитие A, т.е. условната ентропия на едно събитие спрямо самото себе си, то тя е равна на неговата сложност, но с отрицателен знак, и оттук лесно се определя неговата вероятност.
Следва да обсъдим този необичаен начин за определяне на вероятност чрез условна ентропия посредством сложност. Ние определихме по-горе сложността косвено, чрез вероятност, като се предполагаше някаква универсална съвкупност, от която нашия елемент може да се избере чрез алгоритъм, ако притежава тази вероятност. За да не изпаднем в порочен кръг, сега се нуждаем от друга дефиниция на сложност, която не се позовава на универсална съвкупност и на вероятност, за да можем на нейна основа да определим вероятност на свой ред коректно.
Това е дължината на алгоритъма, който може да създаде интересуващото ни събитие чрез най-малък брой стъпки или от даден изходен елемент (който принадлежи на имплицирана от това универсална съвкупност) или от „нищото“. Във втория случай можем да говорим за абсолютна сложност, асоциирана със събитието и едно абсолютно число, което може да се асоциира с него. Очевидно собствено питагорейски ще е такъв подход.
Сложността, дефинирана по всеки от двата начина, а именно относително (спрямо съвкупност или изходен елемент) или абсолютно, е напълно независима и следователно различна от другата. Но получената на основата на абсолютната сложност вероятност също можем да наречем абсолютна, тя се отнася по необходим начин към събитието и няма отношение, следователно и не зависи от избора на генералнa съвкупност (както при обективната вероятност) или от избора на пропозиция (както при субективната).
Естествена е хипотезата да отъждествим тази абсолютна вероятност, получена чрез абсолютната сложност, с квантовата вероятност. Тогава квантовата вероятност е число, което необходимо се асоциира с квантовия обект, независимо от всяко и поради това конвенционално отнасяне към някоя генерална съвкупност. От друга страна, за да можем да съвместяваме при нужда двата подхода, можем да положим, че така изчислената абсолютна вероятност е спрямо една хипотетична уникална съвкупност, която ще предполагаме, че включва всяка друга генерална съвкупност и която ще се условим да наричаме тоталност според традицията, установена във философията.
Сега, на основата на абсолютните сложност и вероятност и поради адитивността на ентропията, можем отново да възстановим една вече абсолютна ентропия за произволно множество.
Можем да проследим как заради адитивността ентропията въвежда сложността като характеристика на кодирането и чрез това самото кодиране. Последното играе ролята на своеобразна проекция на състоянието на нещата. Ако се върнем към философските интенции на двуполюсната схема и на нейното преодоляване чрез понятието за феномен във феноменологията, то можем да видим конкретния начин, по който се реализира в понятието за ентропия. Това става чрез произведението на вероятност по сложност, в което ‘реалността’ и кодирането (‘дискурса’) не са противопоставени, а са еднакво представени.
По-нататък, от абсолютните сложност, вероятност и ентропия и чрез понятието за условна ентропия, за всеки ансамбъл може да възстановим, като чрез условната вероятност (условната сложност) на всеки един елемент от него видим как се е проектирал в абсолютните и оттук го възстановим обратно поради еднозначността на проектирането. Проекцията е функция на проектираното, но обратното не е вярно, поради което се нуждаем от втори параметър, начина на проектиране, който съответства на „приноса на небитието“ в разглеждането по-горе. Заедно с това се въвежда очевидно и един привилегирован свят, в който приноса на небитието е нулев, светът на чисто битие или „идеи“, но той не е противопоставен и разделен с пропаст от реалните както в класическата епистема, а един особен, играещ роля на (абсолютна) отправна система. Всъщност всеки един и от останалите, „реалните“ може да играе тази роля, но с това се постулира изкривяване на пространството, в което се извършва проекция и оттук действието на някаква информационна „сила“. Най-сетне, можем да предположим и променлива геометрия на пространството, поради което „абсолютната отправна система“ ще се движи по някаква траектория под действието на тази информационна „сила“, ако тя е променлива.
Обсъждането на проекция естествено ни въвежда в своя „свят на чисто битие“, чиято идея може най-просто да се реализира чрез векторно пространство с дефинирано скаларно произведение: условия, удовлетворявани от хилбертовото.
Нека сега погледнем на подхода на Колмогоров за въвеждане на вероятност чрез сложност (Колмогоров 1969) през призмата не на неговата предходна работа по аксиоматизиране на теорията на вероятността (Kolmogorov 1933), а чрез тези на Кокс (Cox 1946, 1961). Забелязва се, че и Кокс и Колмогоров дават определение чрез отношение съответно като условна вероятност и като условна ентропия, които могат да са разгледат като обобщение на “условната вероятност“. Съществената разлика в нашия контекст се състои в това, че докато Колмогоров обосновава една единствена сложност, към която сложността на конкретните алгоритми клони (Колмогоров 1965: 8), то Кокс търси инвариантност спрямо всяко отношение (като той ограничава отношенията до функциите).
Съпоставянето на тези два подхода е във висша степен поучително що се отнася до нашата кюбитова парадигма и дуално (холистично) питагорейство. По подхода на Колмогоров двата полюса на епистемата се стремят един към друг, за да се постигне числото като сложност (една единствена = „обективна“), при което − според обичайното разбиране за математическа граница в анализа – единият е неподвижен (идеалният, точната стойност на границата), а другият „пърха“ неотвратимо притеглен към или около него (реалният, множеството наредени стойности на редицата). Тъкмо в духа на класическата епистема съвпадение е възможно едва в безкрайността.
В „кюбитова парадигма“ обаче недостижимият поради безкрайността преход се трансформира в … минималната „площ“ на отношението между двата полюса, гарантирана от съотношението за неопределеност, т.е. в изначална двуизмерност. Следва особено да се подчертае особената важност на очертаващата се включеност или еквивалентност между безкрайността, и по-точно на отношението между потенциална и актуална безкрайност, от една страна, и квантовостта, дискретността на движението (функцията, морфзима), случайността, от друга.
В „кюбитова парадигма“ обаче недостижимият поради безкрайността преход се трансформира в … минималната „площ“ на отношението между двата полюса, гарантирана от съотношението за неопределеност, т.е. в изначална двуизмерност. Следва особено да се подчертае особената важност на очертаващата се включеност или еквивалентност между безкрайността, и по-точно на отношението между потенциална и актуална безкрайност, от една страна, и квантовостта, дискретността на движението (функцията, морфзима), случайността, от друга.
Но как ще изглежда парадигмата ни по Кокс? Ние търсим инвариантност в рамките на една конкретна двуполюсност, например функцията, която свързва дадена величина с нейната числова стойност, или конкретното бинарно отношение в математически смисъл (подмножество на декартовото произведение, чието винаги съществуване изисква или е еквивалентно на аксиомата на избора), напр. между „обект“ и „субект“. Но също така бихме могли да обсъждаме инвариантност спрямо всяка двуполюсност. Получаваме алтернативен подход към питагорейството, при който числото е заместено с инвариантност спрямо отношението (в частност, функцията) между полюсите.
„Кюбитовата“ ни, холистична и сферична парадигма веднага предлага на̀глед на тази учудваща, нетривиална и неочевидна еквивалентност на начините за формулиране на дуалистичното или холистичното питагорейството. То може да се дефинира локално като почти съвпадението на полюсите, при което „почти“ е точно определено чрез константата на Планк, или глобално − чрез еквивалентността, „инвариантността“ на диаметрите на сферата и съответно на техните крайни точки. От съпоставянето на двуполюсната с кюбитовата епистема проличава как цялостността е обобщение на безкрайността, в частност и напр. представима чрез квантовата кохерентност.
Ако преминем към семиотичен или философски език, то абсолютният знак, в който означаващото и означаваното ще съвпаднат или са едно и също, от една страна, Хусерловият или Хайдегеровият феномен, от друга, могат да запазят една Екова (Еco: 1989: 47; 67; 404) или по Мамардашвили (Мамардашвили, Пятигорский 1997: 54-55) недоизразимост, респ. Хайдегерова (Heidegger 2006: 56, 59-60, 68-79; Donkel 1992: 18-87) или Деридова (Derrida 1972: 1-29; Donkel 1992: 89-141) онтологична разлика, която се оказва еквивалентна на инвариантността на всяко означаване или дори още по-общо − на всички знаци. Ако се върнем към класическия за феноменологията подход на Хусерл, това е аподиктичността или трансценденталността на феноменологията и феномена, съответно нейната критика, видоизменяне и видова специфика, разгледана по отношение на картезианството или кантианството.
Да се завърнем към сложността по Колмогоров. До този момент ние обсъждахме сложността като броя разряди за кодиране реципрочната стойност на числото на вероятността. Но реципрочната стойност на вероятността е естествено да се тълкува като случайност. Обратно, колкото по-вероятно е едно събитие, то толкова по-предсказуемо и по-неслучайно е то. Тогава следва, че сложността е броят разряди, необходими за кодиране числото на случайността. Сложността и случайността изразяват едно и също отношение между изходната и крайната позиция, но се различават по начина на достигане на последната от първата. При сложността се осъществява конструктивно, чрез алгоритъм, който в нашето разглеждане изрично не се ограничава финитистки, т.е. като краен. При случайността това става неконструктивно, с помощта на постулати от рода на аксиомата за избора, които гарантират чисто съществуване на крайната позиция при наличие на изходната: не само метафора, но и аналогия по същество с квантов, дискретен скок е подходяща. В първия случай този на алгоритъм би съответствал на континуално движение между двете позиции в рамките на същата аналогия. Това навежда на мисълта за един скулемовски тип относителност (Пенчев 2009: 307 и сл.) между сложност и случайност.
Единосъщието на сложност и случайност се въвежда от Колмогоров (1965: 8-11; 1969: 6) и Пер Мартин-Льоф и се разработва детайлно от втория (Мартин-Лëф 1966; Martin-Löf 1966A: 3.3-4.2; 1966D: 602-608). Ако вземем каквато и да е съвкупност от крайни последователности, случайни (в смисъла на най-случайни от тази съвкупност) са онези, които могат да се получат с най-сложен алгоритъм (напр., най-голям номер на съответната машина на Тюринг) {29}. Това наблюдение може естествено да се обобщи за безкрайни съвкупности и последователности (напр. Hamkins, Lewis 2000, Welch 2000).
При това се установява взаимно еднозначно съответствие, и то с еднаква посока, колкото по-голяма сложност, толкова по-голяма случайност и обратно. Това е строго валидно само за ‘света на чисто битие’, въведен по-горе, в който „приносът на небитието” е нулев.
Нека сега оставим съотношението на сложност и случайност да бъде произволно, така че всяка една конкретна стойност еднозначно да определя свят, така както например съвпадението определи идеалния свят именно в който „приносът на небитието” е нулев. Ще се условим под принос на небитието да разбираме разликата между сложност и случайност, и по-точно, т.е. вече строго количествено, квадратът на величината ‘принос на небитието’ да е равен на разликата между величините ‘сложност’ и ‘случайност’.
Съотношението на сложност и случайност характеризира всеки свят и геометрията му, бидейки мярка за информационната му кривина. Минимална е за плоския, идеалния свят. Това е минималната, базова случайност, която се гарантира от сложността му. Такова положение на нещата e валидно за ‘светове с нарастване на ентропията’. В тях ‘приносът на небитието’ е отрицателен. В случая не става дума непосредствено за безразмерната физическата величина ентропия, за която съществува закон за нарастване на ентропията, а за информационна ентропия. В рамките на този текст няма да обсъждаме въпроса за връзката между двете, тъй като е твърде важен и изисква подробно, обемисто и чисто разглеждане. Нататък, както и досега, ще имаме предвид само информационна ентропия.
Можем обаче да предположим светове, в които ентропията намалява и там сложността превишава случайността. Във всеки един от тях ‘принос на небитието’ ще е положителен: едно положение на нещата, което взривява предразсъдъците ни. Най-сетне бихме могли да комбинираме и максимално да обобщим двата типа светове в „свят с променлива информационна геометрия“, в който информационната кривина да се изменя, и то не непременно континуално (допускат се и дори, в рамките на шегата, се препоръчват скокове), поради което терминът „информационно поле“ не би бил уместен; още повече, че разгледано като функция, дефиниционната област се определя не върху обичайното евклидово, нито дори върху псевдоримановото пространство (включващо като частен случай и пространството на Минковски), а върху Хилбертово, и то не непременно с изброим базис. Тъй като трябва все пак някак да го означаваме, ще използваме термина „информационно битие“. Той има допълнителното предимство, че навежда към съвпадение или дори към питагорейско единосъщие на модела, който той представлява, и реалността, която представлява точно в същата степен.
Ако приносът на небитието за вероятността е отрицателен, това задава геометрия на пространство на Минковски, като приносът на небитието съответства на времето, строго математически на квадрата от него. Тъй като той е отрицателен, самото време следва да е чисто имагинерно, както в специалната теория на относителността се интерпретира четвъртата координата от пространството на Минковски. Това навежда на мисълта, че знакът на информационната кривина се преобръща от микро- към макро-света: в микросвета приносът на небитието е положителен, а в макросвета – отрицателен. Очевидно светът на идеите, в който „приносът на небитието“ е нулев, би се оказал границата между тях. Но тъй като и микро, и макро света са реални области от физическия свят, то сме изправени пред следната дилема: или светът на идеите е част от физическия свят, ако преходът между тях е континуален, или ако обратно, светът на идеите не е част от физическия свят, преходът е необходимо дискретен. Нещо повече, всеки дискретен преход, ако такъв се случи във физическия свят, може да се разположи в света на идеите. Най-сетне, последното твърдение, т.е. поставеното в курсив, може да бъде изтълкувано философски, посредством изначалната метафоричност, задавана от двуполюсната схема.
Но с това следствията от това необикновено преобръщане на ‘информационната кривина’ в „реалния свят” далеч не се изчерпват. На второ място, ако тълкуваме „информационната кривина“ най-грубо като своеобразна първа производна, т.е. в един твърде обобщен смисъл, на физическия свят, напр. на стойността на една конкретна физическа величина по всички възможни светове, респ. по всички възможни измервания (уреди) в нашия свят, то нейното анулиране в „идеалния свят“ би съответствало на особена точка (едно от трите: минимум, максимум, инфлексна точка). С това се имплицира континуален модел на прехода. Ако обаче се вземе за основа дискретният подход, стойността на производната следва да е безкрайна, а самата производна ще представлява функцията на Дирак. Така се вижда, че двата подхода, континуалният и дискретният, се сродяват от изискването информационната кривина или свързаната с нея ентропия да имат особена стойност, нулева или безкрайна, което може да се случи само при съответно безкрайна или нулева сложност (нулева, безкрайна случайност), по-точно, при клонене към тези гранични стойност на сложност или случайност. Ако направим аналогия с безразмерната физическа ентропия от термодинамиката или статистическата механика, биха съответствали емпирично недостижимите поне досега стойности на безкрайна температура или тази на абсолютната нула.
Очертава се тогава един необикновен философско-емпиричен извод: ако идеалният свят, разбира се, в силно ограничения, за да бъде строго количествен смисъл по-горе, е част от физическия, то бихме имали експериментален и може би дори технически достъп до тези температурни граници − абсолютната нула и безкрайната.
Нещо повече, за всяка физическа величина нейната стойност с максимална вероятност в квантова механика или просто нейната стойност в класическата физика е необходимо в … идеалния свят. Обяснението на такова наглѐд парадоксално положение на нещата се състои в това, че всяко измерване всъщност е проектиране на някой от реалните светове върху идеалния. Виждаме още веднъж колко неплодотворно би било простото противопоставяне от двуполюсната епистема, което освен останалото забранява изследването на самите връзки и процеси на превръщане в измерването (или в аналогичните като ограничаване степени на свобода, абстрахиране, случване и др.). Не можем да приемаме вече ‘истината’ за дадена, а трябва да изследваме как възниква или изчезва в реалния свят, „къде“ е разположена, какви са нейните видове и белези, но определени сега количествено в широк смисъл (т.е. чрез математически структури).
На трето място, областите с „отрицателна кривина“ са хилбертовото пространство, докато тези с положителна − към пространството на Минковски (или псевдоримановото в общия случай). Първото е безкрайномерно, докато второто − четиримерно (същественото е че е крайномерно). Освен това първото следва да се съотнесе по-скоро с вечността, докато второто – с времето. Следователно, идеалният свят се оказва на фундаменталната философска граница между безкрайно и крайно и между вечност и време, а можем и да я интерпретираме като механизъм на истината за случването ѝ в реалния свят. Заедно с това ни дава поне един конкретен ключ, за да изследваме този въпрос не или не само философски, но и математически и да извличаме всички предимства от това.
Нека сега се постараем да се вгледаме в конкретния механизъм на преход между областите, моделирани с хилбертово пространство и положителен „принос на небитието“, и срещуположните, те пък с минковско (псеводриманово) пространство и съответно, отрицателен принос. Възлова е ролята на посредника, света на идеите, в който и двете области могат да се проектират, но по различен начин. Особено важна е хипотезата или по-скоро аксиомата за отъждествяване на двете проекции, т.е. „отляво“, от хилбертовото пространство и „отдясно“, от минковското (псевдоримановото) пространство. Поради очевидната аналогия с непрекъснатост „отляво“ и „отдясно“ в стандартния анализ, ще използваме термина „хипотеза (аксиома) за информационна непрекъснатост на света“, чието отрицание да бъде пък валидното в дискретния случай.
Нека въвлечем и употребяваните в донякъде интуитивен, донякъде определен смисъл термини „случване“, „абстрахиране“ и „измерване“, но вече със строго, фиксирано значение във връзка с приетите за известни ‘ограничаване на степените на свобода’ и ‘инвариантност’ и отчасти с ‘аксиоматизиране’. “Измерване“ ще е родовото понятие, „случване“ ще запазим за клоненето „отляво“, т.е. за проектирането върху идеалния свят от хилбертовото пространство, а „абстрахирането“ − за „отдясно“, от минковското (псевдоримановото) пространство. Измерването „отдясно“ има характер на случване, а в класическата физика (както и в целия човешки опит в макросвета) – на „абстрахиране“ в смисъла на изработване на еталон, който е условието на възможност за всяко измерване, за което така въведеният еталон е валиден.
Измерването в квантовата механика е хибридно, което е съвсем естествено за нея като теория за системата от квантов обект и макро уред. То се състои от ясно разграничени два етапа: първи, в който се изготвя еталон, т. нар. подготовка, и втори, в който − според крилатата фраза на Айнщайн „Бог хвърля заровете“ – и една стойност на измерваната величина, чийто вид (физическото ѝ измерение, качеството ѝ) ще се случи, а детерминирана е само вероятността на случването ѝ, т.е. с какви (колко подправени) „зарове се играе“, не стойността ѝ.
Начините на проектиране в идеалния свят „отляво“ и „отдясно“, както вече споменахме, са различни. По начало проектирането предполага векторно пространство, в което се извършва. В нашия случай са налице две векторни пространства, но различни. Насоката да отъждествим или поне съпоставим проекции в двете налага да изведем обща същност на проектирането, която да е инвариантна за двете и очевидно независима от конкретната метрика и дори може би топология. Такава обща същност е изборът: ако от множество изберем подмножество или елемент, то такъв ще разглеждаме като теоретико-множествено обобщение на ‘проекция’. Става ясно, че в дълбоката си основа понятието за проекция е зависимо от аксиомата за избора и нейните варианти:
Всъщност проекцията „отляво“ и „отдясно“, обединени от общата основа на ‘измерване’, се разграничават по демаркационната линия неконструктивност / (обобщена) конструктивност на аксиомата за избора. Проекцията „отляво“, т.е. от хилбертовото пространство върху света на идеите се осъществява случайно, т.е. само се постулира съществуване на избран елемент (случаят на избор на подмножество може да се сведе до избор на елемент), но не се посочва (без непременно да се отрича евентуално съществуване на) начина (алгоритъма), по който се осъществява изборът. Напротив, „отдясно“ е изначално и винаги елементът, „еталонът“, който трябва да бъде достигнат и чрез това се имплицира алгоритъм (не непременно краен), чрез който може за съответния краен или не брой стъпки да се достигне до предопределения елемент – еталон. Виждаме, че мярка за избора „отляво“ на избрания в резултат на него елемент съвпада с мярката за случайност на елемента, а „отдясно“ – за сложността му. Следователно, хипотезата (постулата) за информационна непрекъснатост означава тъкмо нулева „информационна кривина“, а понятийно – отъждествяване на ‘сложност’ и ‘случайност’.
От друга страна, ако се ограничим само „отдясно“, то се вижда съответствието на тази част с епистемата на истината като adæquatio, която всъщност може би и произхожда нея. Доколкото изборът на предварително зададения еталон имплицира алгоритъм, то последният може да се разглежда като еквивалент на детерминизма, каузалността и определен тип кореспондираща им рационалност, която можем да обозначим като класическа. Доколкото обаче изборът в общия случай не е краен, двата полюса на епистемата ще са разделени от пропастта на безкрайността и оттук в крайна сметка противопоставени именно като полюси.
Не само начинът на клонене „отляво“ и „отдясно“ трябва да се отъждестви чрез теоретико-информационно обобщаване на проекцията като избор, но и избраните елементи „отляво“ и „отдясно“. Проблемът тук идва от това, че трябва да представим хилбертовото и минковското (псевдоримановото) пространство като съвкупности от еднакви елементи и така да положим изоморфизъм между тях.
Кюбитът, представляващ своеобразна „ос“ на хилбертовото пространство, една от безкрайно многото, заедно с това е сечение на четиримерния светлинен конус за всеки един момент от време. Тримерна сфера, нормирана като единична, е изоморфен образ и на двете. Една точка в нея представлява съответно стойността на кюбита и точката от мировата линия, съпоставени като пропорционални чрез едно реално число, което взето по всички кюбитове е стойност на хипермаксималния оператор на величина и при предположението за непрекъснатост на мировата линия я определя еднозначно.
Кой кюбит се оказва избраният? Тъкмо този, който е напълно еднозначно определен чрез това, че кодира избора. Следователно, проектирането се оказва, че съвпада с кодиране на избора в избраното. Виждаме как конкретно математически е въплътен „заветът“ на Хайдегер за ‘феномена’: да показва сам себе си в себе си. Той се показва като кодиране на избора (себе си, кодирането) в избраното (в себе си, в кодираното).
Могат ли сега да се съвместят кодирането (проектирането, избора) „отляво“ и „отдясно“ като своеобразна хронология? Начинът на кодиране отляво е забранен, той просто се случва поради аксиомата за избора, гарантираща чистото му, неконструктивно съществуване. Веднъж обаче случил се, поради изискваното заради хилбертовото пространство отъждествяване на избраното с избора, на кодирането с кодираното, от неговото наличие реконструираме самия избор и самото кодиране като обобщен алгоритъм, който в общия случай не е краен. С това се оказваме „пренесени отдясно“, „където“ по еталона на осъществения избор се възстановява самият алгоритъм на избора, макар и може би като квази-рационална процедура, ако сме приели, че не е финитна. Все едно в скоби ще отбележим, че класическата теория на измерването в квантовата механика я постулира като финитна посредством конструкта за „редукция на вълновия пакет“, докато понастоящем обсъждането ѝ като процес на декохеренция, протичащ във времето, се насочва към нефинитен, но конструктивен неин модел.
Какво представлява физически изборът, видян „отляво“ и „отдясно“? Изборът „отляво“ посочва точно един кюбит, който се интерпретира като точен момент от време „отдясно“. Изборът „отдясно“ абстрахира необходимо чрез ейдетична редукция един еталон, който обаче отляво се оказва случил се именно случайно.
По-горе обсъждахме съвпадението на субективна и обективна вероятност в квантовата. Сега вече можем да обобщим това наблюдение посредством твърдението, че квантовата механика е положена върху хипотезата за информационната непрекъснатост, което включва горното съвпадение. Наистина обективната вероятност произтича от случайното разпределение (на физическа величина, напр.), докато субективната от еталона, фиксиран в пропозицията, и добиван по някаква (квази)рационална процедура. Квантовата механика е необходимо положена на тази основа, тъй като е теория за системата от макро уред, подвизаващ се „отдясно“, и квантовия обект, разположен „вляво“. Доколкото става дума за система от тези, а не за механичен сбор, то най-проста и естествена е хипотезата за информационната непрекъснатост, която да ги слее в единство. От гледна точка на методологията нейният смисъл е съвпадение на обективно (квантовият обект „сам по себе си“) и опитно, експериментално (показанието на уреда). Очевидно такова изискване се пренася от класическата методология и дефинира възможността за ‘опитна наука’, както е очевидно и че квантовата механика е опитна наука.
Но начинът на реализиране на това фундаментално методологично изискване е различен, нека заради илюстрацията напр. се ограничим до квантовата и класическата механика. Освен това ще покажем, че класическият случай е частният, съответно квантовият е обобщението.
Съвпадението в квантовата механика се основава на избор. Във философски смисъл може да се използват термините свобода и произвол в еднаква степен, тъй като различието между тях се покои само на ценностната ориентация на интерпретиращия. То всеки път се случва. Съвпадението в класическата механика е предопределено. От гледна точка на избора, това е тривиалният случай на „избор между елементите“ на множество, състоящо се от един елемент. В един малко по-различен, но производен смисъл се говори за строга детерминираност и каузалност в класическата опитна наука, откъдето поради нейните успехи се е разширило и извън нейните граници. Това е интерпретация на горния тривиален частен случай, когато множеството с един елемент, от което „се избира“, е настоящето, респ. квантовото обобщение разглежда избор на настояще от произволно (изобщо безкрайно, и то не непременно изброимо) множество времеви моменти.
Изборът досега беше по-скоро абстрактно формализиран, т.е. собствено математически, под формата на аксиомата за избора и понятията за (некраен) алгоритъм и за еталон. Особено интересна не само във физически, но и във философски смисъл, в крайна сметка дори и в математически, е един особен случай, чиято особеност е дотолкова необикновена, че дори не може да се нарече частен, а именно когато изборът е между моменти от време или респ. върху математическа структура, аксиоматизирала ейдоса на времето.
Нека започнем с интуициите за аксиоматизиране на време: то е процесът на преброяване. Това, което се преброява, са елементите на съвкупност. След малко ще се уверим, че е необходимо да е безкрайна в степента, в която е валидно естественото предположение, че подмножеството на ‘бъдещето’ не е празно. Преброеното е миналото, елементът, който сега се брои, е настоящето, а непреброеното – бъдещето.
Става очевидна фундаменталната роля, която играе аксиомата за избора в концепцията за аксиоматизируемото време, впрочем и в цялото ни изложение. След като е преброено, подмножеството на ‘миналото’ е добре наредено, следователно аксиомата за избора е валидна поне включително до неговата мощност. Настоящето, бидейки един единствен елемент е невъзможно да не се преброи и следователно – невъзможно да не се добави в добрата наредба на миналото, не така стои въпросът за бъдещето.
Няма логическо противоречие да се допусне съществуването на непреброими участъци в него, в които самото време изчезва или не може да се дефинира еднозначно. Съответно е необходимо аксиомата за избора да е с ограничена валидност, а тези участъци ще представляват подмножества с отвъдна спрямо максимално изброимата мощност, гарантирана от ограничената аксиома за избора.
Обратно, неограничената аксиома за избора гарантира, че времето никога няма да изчезне. Тогава можем да въведем понятие за вечност, под което ще разбираме актуална завършеност на процеса на преброяване, т.е. бъдещето и настоящето – налични като преброени подобно на миналото. Все пак те са с увереност преброими, т.е. потенциално, но не преброени актуално, както миналото. Понятие за вечност бихме могли да въведем и в обобщен смисъл, когато е преброено всичко, което може (ограничената аксиома за избора допуска) да се преброи. Останалото бихме могли да пренебрегнем – но без да е необходимо − по един или друг начин, напр. като го зачеркнем. Тогава първоначално въведеното понятие за вечност ще бъде частният случай, когато всичко може да се преброи.
Продължавайки с интуицията, следва да отбележим, че едно множество може да се преброи по два начина: пряко и косвено, чрез множество еталон, за което се предполага, че се знае от колко елемента се състои и множеството се постави във взаимно еднозначно съответствие с множеството еталон. В първия случай се постулира валидност на аксиомата на избора, а във втория – множеството еталон. Виждаме, че положено върху преброяване, времето зависи от някакъв изходен постулат, което предполага, че е възможно да се приеме и неговото отрицание, т.е. най-малкото теоретично обсъждане на невремеви онтологии.
Двата начина за преброяване на едно множество се вписват прекрасно в нашия модел, разполагайки се съответно „отляво“ и „отдясно“. Тогава аксиомата за избора гарантира „отляво“ „случването“ на еталона. След това алгоритъм (който заедно с това е и първият пример на не задължително краен алгоритъм, който можем да посочим), поставя в едно-еднозначно съответствие изследваното множество с еталонното. Нека се вгледаме що за алгоритъм е това. Как да го опишем? Как да сме сигурни, че ще завърши, ако стъпките му не са краен брой?
Основният въпрос е всъщност дали при това преброяване чрез еталон можем да заобиколим аксиомата за избора що се отнася до изследваното множество, по-точно да покажем алгоритъма без да сме я използвали експлицитно или имплицитно при неговото построяване.
Бегло може да се маркира, че стандартното (първоначално исторически проиграното) решение на проблема не е удовлетворително. Например, можем да вземем еталона като особения елемент на множество, то самото, и чрез операция, обратна на ейдетичната редукция, да възстановим самото множество, на което то се явява особен елемент. След това търсеният алгоритъм решава на една стъпка дали изследваното множество е елемент или не на построеното по еталона. Проблемът е че трябва да се постулира „множество по еталон“ и че е едно единствено. Всъщност това е постулат по същество еквивалентен на принципа на абстракцията (Russell 2010: 221-222). С това обаче е твърде съмнително нашият проблем да е решен. Първо, дали полученото по този начин е непременно множество? Второ, дали аксиомата за избора все пак не трябва да се приложи предварително към изследваното множество в общия случай, за да сме се уверени, че притежава качеството „бройност“, който би позволил да го съотнесем с конкретния еталон за бройност. Очевидно ако не сме сигурни в качествената еднородност на еталона и измерваното, измерването е безсмислено. Все пак обаче остава една „вратичка“: дали не можем да докажем качествената еднородност в процеса на измерване? Какъв обаче би бил конкретният алгоритъм в нашия случай, толкова гъвкав, че да се „промуши“ през тази „вратичка“? Без да изключвам напълно възможността такива трудности да бъдат някак преодолени, повече или по-малко успешно, все пак ми се струва, че те произтичат от изначалния разрив между двата полюса на класическата епистема, от нейния „първороден грях“.
Нашето конкретно решение, обратно, идва тъкмо от усърдно разработваната тук замяна на класическата епистема: търсеният алгоритъм съвпада с еталона или е еталонът. Как?
Търсеният алгоритъм следва да преброи изследваното множество и да установи дали съвпада с еталона, или не. Основният епистемологичен въпрос в класическия случай, както видяхме малко по-горе, е как можем да преброим нещо, без да е сигурно, че е преброимо. Съответно основното съмнение e доколко предлаганото епистемологично решение наистина решава проблема, а не просто да го преименува или покрива.
Въвеждането на понятието за абсолютна сложност, в духа на идеите на Колмогоров и Мартин-Льоф, всъщност постулира дуално еквивалентно обсъждане на всеки обект и като битие, и като число. Така се въздига в универсален принципът, който можем да наречем дуално питагорейство, своеобразен синтез от идеите на класическото питагорейство и на философията на квантовата механика. Mожем да броим всяко нещо според неговата втора, числова страна и броят разряди от резултата след преброяването е неговата сложност. С това аксиомата за избора фактически е превърната в основополагащ философски принцип и заедно с това ограничена до едната от двете дуални половини на света и всяко нещо в него. По-горе видяхме, че подобна фундаментална числовост e тясно свързана или произтича от разглеждането на всяко нещо и като цялост, поради което придобива категорична интуитивна убедителност.
Решен ли е обаче нашият проблем? Всъщност се използва урокът, преподаден ни от природата и мъчително усвояван в квантовата механика и информация, че приемането и двете решения на една дилема, в логически план – прякото логическо противоречие, не е пречка за изграждане на логически строга научна теория, която освен това блестящо се потвърждава от експеримента.
Така наличието на дилема – в квантовата механика напр. вълнова или корпускулярна природа на квантовите обекти, а в нашия случай броимост или неброимост на едно множество – разлага приет постулат до неговата първична възможност, но въпреки това го запазва, обаче вече в качеството на дуалната възможност, сред постулатите на теорията. Така теорията необходимо следва да обсъжда и възможности, както и тяхната количествена мярка – вероятностите. Теорията бива определена не само чрез своите аксиоми, т.е. чрез ограниченията на степените на свобода, но и с дилеми, които се оказват в логическия статут на „висящи аксиоми“. Друг пример за такъв необикновен епистемологичен и логически статут дава интуиционизмът с правилото за изключеното трето по отношение на безкрайни множества.
Следователно подходът, който тук се предлага в духа на феноменологично преобразуване на класическата епистема, решава проблема за броимостта като го постулира за проблем, нещо повече, универсализира го като такъв. Но нима това е решение? Тук опираме отново до безусловната ефективност в практически план, съчетана с логическа безукорност, на математическите методи, разработени от квантовата механика и информация, които обаче заедно с това неизбежно взривяват нашите предразсъдъци. Това е едно изненадващо дзен-будистко „тупане в гърба“ за човечеството, че да бъде принудено да получи „просветление”. Решение е, тъй като не е „метафизично”, в лошия смисъл на термина, фиксиран напр. в Попъровото определение на „критерия за демаркация” на науката (Popper 2002: 18-19, в контекста на p. 16).
И ето един от фундаменталните изводи на нашето изследване:
Понятието за вероятност изобщо (т.е. в тук разгледаните и в други определения) служи за включване на дилеми (разбира се, изключително редките истински дилеми, които заслужават определение онтологически) сред постулатите на една теория. С това тя неминуемо се оказва принудена да скъса с класическата епистема, като един вариант за подобно преодоляване са идеите на феноменологията, без разбира се да е единствено възможният. Общ белег на всички подходи от този род е навлизането на възможността в действителността, за което може да се използва и терминът „виртуализиране на онтологията“.
За изследванията на статута на дилемите родоначалник е великият български философ Сава Петров (1971).
И така, ние естествено ще определим алгоритъма като запис в позиционна система на броя от еталона, а неговата сложност ще бъда съпоставена със сложността на изследваното множество. Ако сложността е с еднакъв ординал (кардинал), ще твърдим, че изследваното множество има броя в еталона. Чрез това се включват и некрайни стойности на сложността, като определенията чрез ординал или чрез кардинал са фундаментално различни за тях. Освен това броят на еталона можем да приемем като номера на машината на Тюринг, не необходимо краен, която ще реши дали изследваното множество съвпада с еталона за брой или не.
Без сега да навлизаме в подробности, можем да отбележим, че еталонът, както и всяко нещо, имплицира идеята за „информационна кривина“, която придобива различна стойност във всяко едно нещо. Досега тя беше определена само като несъвпадение на случайност и сложност, оттук нататък може да се добави и като разминаване на качество и количество в едно и също нещо или качество, като качеството се преобразува в количество чрез абсолютна сложност на качеството в това нещо. Може да бъде мислена и като мярка за акциденталността на въпросното нещо, за наличието на акцидентални качества, за съотношението на акцидентални и есенциални качества, в крайна сметка завръщайки се към първоначалното определение, за съотношението на случайност и сложност в него конкретно.
Най-простият случай е нулева информационна кривина и тъкмо той се изследва от квантовата механика. Малко по-нататък ще видим, че квантовата информация може да се разглежда като онова обобщение, което разглежда произволна информационна кривина, чийто произход се крие в нововъведения тип нестандартни (сдвоени, entangled) външни части на една ограничена цялост (с нея).
В плана на феноменологията всяко нещо ще се определи като конкретния си начин на скриване спрямо пълната нескритост, абсолютната философска истина по Хайдегер, във феномена.
Малко по-горе споменахме, че сложността се оценява като броя разряди в някаква бройна система. Следва понятието „брой“, както и „бройна система“, да се разглежда достатъчно общо. Недоразумения не биха могли да възникнат, ако те са крайни. Ако обаче са безкрайни, под „брой“ в горния контекст ще подразбираме ординал, а ако все пак става дума за кардинал, това изрично ще се посочва. Съответно под „бройна система“ ще се има предвид хилбертово пространство, представено чрез произволен ординал (кардинал) кюбитове.
Чрез горното отново се позоваваме на бройна система с изброим кардинал стойности на „цифрите“ и ординал разряди. Без все още да навлизаме в детайли, само върху такава, самата тя твърде сложна и обобщена бройна система, можем да кодираме действителността „по начина на феномена“: т.е. кодираното и кодиращото (или кодирането) да съвпаднат.
Можем да предположим, че сред множеството способи за числово кодиране, изобретени от човека, и поради това с конвенционален характер, има поне един използван от самата природа, разбира се, ако нашата питагорейска хипотеза е валидна. Това би се основавало на специални качества, вече намекнати или споменавани, но които ще обсъдим към края на изложението, правещи го подходящо. Да подчертаем, че всеки разряд, т.е. кюбит получава стойност измежду изброимо много и бихме могли да го интерпретираме като конкретното количество за едно качество на дадено нещо.
Нека сега покажем как идеята за такава обобщена бройна система може да се свърже с поставянето на „проблема P срещу NP“ (Cook 1971) {30}. Той е от областта на теория на алгоритмите и гласи следното. Ако това, че дадена стойност е решение на проблем (задача), може да се провери за полиномиално време, следва ли, че самата задача може да се реши за полиномиално време? Полиномиално време означава, че времето за решаване е полином от степен k от количеството на входните данни. Нека за простота си представим, че количеството входни данни е цяло число и разгледаме редица от бройни системи, всяка една от които представлява безкраен ред от неотрицателни степени на основата, равна на количеството входни данни, всяка предхождана от произволна цифра от допустимите при такава основа.
Тогава проблемът се представя така {31}: ако времето за проверка дали дадена стойност е решение се изобразява по горния начин като вертикална „права“, дали следва, че като успоредна вертикална „права“ се изобразява и времето за решение на самия проблем.
Първо следва да вникнем в смисъла в положителното и отрицателното решение, т.е. какво означава тези две времена да съвпадат или да не съвпадат. За целта трябва да съпоставим класа от всички елементи на дадено множество със самото множество и да поставим въпроса дали са идентични. Как би било възможно да не са? В нашия контекст множеството представлява освен всички елементи (както класа от неговите елементи) така и тяхната цялост или още един особен елемент – то самото. Наистина по индукция лесно се доказва, че ако времето за проверка на всеки един елемент е полиномиално, такова ще е и за произволен брой елементи като произведение от полиноми. Единственото, което може да промени това положение на нещата е изчисляването на особения елемент, тъй като то ще зависи от времето на проверка за всички елементи.
Очевидно с това вече сме намесили актуалната безкрайност, и то под формата на изчислителен, алгоритмичен проблем, който се очаква да има конкретен, практически смисъл. Сигурно ли е, че полиномът от безкрайна степен, какъвто необходимо ще се получи за безкраен брой полиномиално проверими елементи, е също полином? Тук отново може да разгледаме, и то релефно, наблюдението, че принципът на математическата индукция не имплицира съществуването на актуална безкрайност. Наистина проверката на класа от всички елементи на безкрайно множество се доказва по индукция (с въвлечена, ако трябва, предварително аксиома за избора, за да се „преброи“ поне по принцип произволно безкрайно множество), но особеният елемент включва актуалното произведение от безкраен брой полиноми като време за неговото изчисляване. Достатъчно е да вземем предвид, че резултатното произведение, разгледано като полином, необходимо ще се състои от неизброимо множество събираеми.
Нека онагледим особения елемент на едно безкрайно множество с конкретен пример. За целта да разгледаме множеството от (десетичните) разряди на числото корен от две. Доказано е, че то е безкрайно. Можем да проверим дали дадено число принадлежи на подмножеството от първите n разряда за полиномиално време и оттук да заключим по индукция полиномиално време за класа на множеството от разряди на числото корен от две. Сега обаче поставяме въпроса за какво време ще се изчисли, че дадено ирационално число, състоящо се от безкраен брой разряди, е именно корен от две, т.е. особеният елемент на това множество? От примера изглежда очевидно, че тук се сблъскваме с ипостас на предполагаемата аксиома за актуалната безкрайност в зависимост от това: дали, по принцип, с резултата за потенциална безкрайност, получен по индукция, се постулира равенство, или не.
Съвпадението на актуалната и потенциалната безкрайност в „особения елемент“ се представя като своеобразна цикличност по следния начин. От аксиомата за актуалната безкрайност се предполага, че от всички елементи на безкрайното множество може да се изведе неговият особен елемент в качеството, фигуративно казано, на „последен“, последно изведеният. Обратно, от принципа на математическата индукция от особения елемент, нагледно, в качеството на „първи“, може да се изведе всеки един елемент от множеството. Така отъждествяването на актуалната и потенциалната безкрайност в „особения елемент“ на безкрайното множество го „зацикля“. Точката, в която кръгът се затваря, е естествено да се приеме тази с най-малкия изброим ординал, следователно безкрайният кардинал, определен по фон Нойман, брои само „оборотите“ за разлика от ординала.
От направеното разглеждане се вижда, че, макар и в различни работи, два от принципите, които въвежда Ръсел – на абстракцията {32} (Russell 2010: 221-222) и на „порочния кръг“ (Russell 1908: 236-237) – се оказват в противоречие, разбира се, само при нашето циклично разглеждане. Наистина принципът на абстракцията изисква съществуването на особения елемент на множеството, то самото. Такъв обаче се определя предикативно и поради това би бил забранен в Ръселовата теория на типовете (Russell 1908: 236-237). Последната е въведена да се избегне противоречието, имплицирано от актуалната безкрайност, при линейна йерархично подреждане на „типовете“ (Russell 1908: 236-241). Показахме, обаче, по-лесно и по-естествено, в съгласие с урока преподаден ни от самата природа чрез квантовата механика и информация, и то окончателно, че парадоксите с актуалната безкрайност се отстраняват с описаното зацикляне, водещо своето начало от многократно обсъжданата по протежение на целия текст холистично-циклична парадигма.
Цикличното съвпадение на актуалната и потенциалната безкрайност в особения елемент заедно с това означава и нулева информационна кривина; положителна би означавала все по-голям радиус на безкрайния кръг при всеки оборот, отрицателната – все по-малък. Строго това положение на нещата може да се изрази чрез точката, в която се осъществява зацикляне. По-горе ние предположихме, че то се осъществява в най-малкия изброим ординал, който съвпада с кардинала по фон Нойман. Положителните кривини не пораждат проблеми, тъй като сумата от най-малкия изброим ординал и неотрицателно цяло число се дефинира непротиворечиво.
Отрицателните кривини обаче очевидно биха породили противоречие. Многократно е подчертавана появата на този тип проблем още на теоретико-множествено равнище при всички явления на сдвояване. В крайна сметка необходимо е постулиране съществуване винаги за дадено множество на „логаритмичното“ множество, определено обратно на „степенното“: тоест като онова множество, чието множество от всички подмножества, съвпада с даденото. С това добрата наредба обаче, а чрез нея и аксиомата за избора става „двупосочна“: всяко множество може да се нареди добре като се вземе произволен елемент и той се тълкува като най-малък в едната посока и най-голям – в другата. С това очевидно се въвежда дуално и структура на континуум (посоченото свойство в класическия случай се изпълнява от реалните числа, но не от рационалните) за всяко множество, наред с гарантираното съществуване на преброяване от стандартната, „еднопосочна“ аксиома за избора.
В нашия случай следователно не можем да използваме определението за кардинал като най-малкия ординал, за който съществува взаимно-еднозначно съответствие с изследваното множество. Кардиналът следва да се определи на друго или на свое собствено основание, т.е. да се постулира. Всъщност тъкмо това − експлицитно или имплицитно − би правила предложената аксиома за актуалната безкрайност (респ. за цялостността, за кохерентността). Информационната кривина би била определима още на теоретико-множествено равнище като разликата между кардинал и ординал и може да приема и отрицателни стойности. Само в скоби може да се отбележи, че посредством аксиомата лесно ще се определи множество с нецял брой елементи, а оттук и произволна кривина.
Но да се върнем към смисъла на отрицателна информационна кривина по отношение на „проблема P срещу NP”. Тя предполага, че съществуват множества, които е по-лесно да бъдат определени посредством своя особен елемент, отколкото изброени. Можем да видим, че математиката, а по същество и човешкият интелект, се занимават с именно този тип.
Нека като пример разгледаме множеството от (десетичните) разряди вместо на корен от две, както по-горе, тези на четири девети. Ясно е, че те биха били само четворки, с увеличаващ се с единица брой нули между значещата четворка и десетичната точка (запетая). Каквото и крайно подмножество на това множество да вземем не можем да заключим, че става дума, за разрядите на числото 4/9. Това можем да направим само ако разполагаме с всички елементи на безкрайното множество. Алгоритъмът, който би удостоверявал това, следва да се състои от некраен брой стъпки, ако като некрайна мощност определим мощността на логаритмичното от изброимо множество.
Обратно, ако предварително знаехме, че става дума за 4/9, по метода на математическата индукция, следователно финитно, можем да постановим, че множеството се състои от намаляващи четворки. Виждаме, че ако сме постулирали циклично затваряне чрез отъждествяване на потенциалната и актуалната безкрайност в особения елемент, некрайният алгоритъм по-горе може да се идентифицира като финитния алгоритъм на математическата индукция посредством двупосочната добра наредба и тази модифицирана аксиома за избора. Така можем ясно да видим, че от цикличния подход към безкрайността следва финитност на трансфинитната индукция, която се тълкува като индукцията в обратната посока спрямо произволен следващ оборот „през безкрайността“. Противоположното твърдение не е вярно в степента, в която финитност на трансфинитната индукция може да бъде обосновавана и собствено по Генцен, т.е. при линеен подход.
И така, има някакъв краен брой разряди, които са все четворки след десетичната точка. Ако става дума за реално измерване, най-вероятно още след петата-шестата може да се заключи, че става дума за 4/9. Основание за това например може да е че е достигната грешката (Δ) при измерването. Така едно безкрайно множество от стойности ще се обозначи с (4/9)±Δ.
Първо, примерът показва, че измерването е съответното на индукцията, физическа, обикновена математическа и трансфинитна. Следователно, по нашата циклично-холистична парадигма, която слива модел и реалност и отстранява каквато и да било дистанция между физическо и математическо, ние ще отъждествим също така индукция и измерване.
Второ, ако сме отъждествили едно безкрайно множество с едно крайно, измерено множество, то между елементите на първото е въведено сдвояване, което е „математическо“, т.е. още на теоретико-множествено равнище, и съответно отрицателна информационна кривина.
Особеният елемент на множеството е буквално безкрайно по-просто да се получи, отколкото да се изброят един по един всички елементи на множеството, тъй като се извършва по финитния метод на измерването или индукцията. Той има характер на обобщена проекция.
Ако ние се интересуваме по-скоро от свойствата на процеса на проектиране, отколкото на проектираното и на получената проекция един начин е да се изследват свойствата при проектиране до минималния възможен брой стойности – две, наричани в логиката вярно и невярно. Следва да се подчертае, че тук показахме предмета на логиката като изследване на процеса на проектиране, независим от естеството на проектираното и на проекцията.
Ако си поставим за задача да изследваме темата „Число и знак“, то логиката ще встъпи в ролята на своеобразна числова семиотика, при която мислим проекцията на нещата или на думите върху числата или обратното.
Очевидно е също така, че информационната непрекъснатост, т.е. нулевата информационна кривина, възпроизведена (съзнателно избягваме „интерпретирана“) върху хилбертовото пространство, означава неговата ортогоналност. Без дискусия ще използваме следния резултат {33}: ако е валидна аксиомата за избора, всяко хилбертово пространство е ортогонално, т.е. с нулева информационна кривина. Само това обстоятелство изглежда достатъчно да направи убедителна хипотезата, че то е тъкмо естествената за природата математическа структура, която тя би могла да „употреби“ за кодирането на нещата. По-прецизна обосновка все още предстои по-нататък.
От дуалния питагорейски подход следва фундаменталността на отношението, първоначално отложено за разглеждане и скрито зад термина „дуално“ и зад неговите конотации с принципа на допълнителността по Бор, между числовата и нечисловата страна на нещата. Поне в посока от първата към втората то има характер на броене и следователно тъкмо за него запазихме понятието „време“ в аксиоматизируем смисъл. В обратна посока, в която, най-общо и фигуративно казано, нещата се сливат в едно, е подходящ терминът „кохерентност“, „кохерентизация“, ако се разглежда като процес, или „суперпозиция“ на състоянията. Идеята за информационна кривина и за информационното битие, т.е. нейното пространство, в което да се променя от точка към точка, разполага в единство двете посоки на това фундаментално отношение. Областта на положителна информационна кривина съответства на превес на броенето над кохерентността, регионът на отрицателна – на противоположното, а самото хилбертово пространство – на тяхното уравновесяване, на нулевата стойност.
След обстойното обсъждане на аргументите вече се насочваме към строго фиксиране на математическа структура, за която сме избрали названието „време“:
Под „време“ ще разбираме двойката от ординал и кардинал с еднаква (или по-голяма) мощност, определени по начина, предложен от фон Нойман (Neumann 1928). Следователно допускаме неограничена, но не „двупосочна“ аксиома за избора. Как може да се модифицира за „двупосочна“ аксиома за избора, следва непосредствено от направеното по-горе обсъждане.
По неговата дефиниция всеки ординал е добре нареденото множество от всички по-малки ординали (Neumann 1923: 199; Neumann 1928: 378-379). Под „еднаква мощност на ординал и кардинал“ ще разбираме, че съществува биекция между ординал и кардинал. Пак по фон Нойман кардиналът е най-малкият ординал, за който съществува тази биекция (Neumann 1928: 385-386), най-малкият от ординалите с мощност, еднаква поради биекцията.
Ако ординалът е краен, той е един единствен с тази мощност и съвпада с кардинала. Случаят е тривиален, а понятието за време е безсъдържателно, ако в него множеството на „бъдещето“ е празно:
Наистина, използвайки току-що въведеното определение за математическата структура „време“, ординалът от двойката съответства на настоящето, добре нареденото множество от всички по-малки ординали – на миналото, а всички по-големи ординали (от същата мощност) – на бъдещето. Ако сме възприели уговорката „от същата мощност“, то произтичат две следствия:
1. Аксиомата за избора може да бъде ограничена до тази мощност.
2. Ако ординалът е краен, множеството на „бъдещето е празно“, а „времето“ е изродено (без „бъдеще“).
Ако не сме постулирали „от същата мощност“, тези следствия няма да са валидни: аксиомата за избора може пак да е ограничена, но до по-голяма мощност, или да е неограничена. В първия случай бъдещето е ограничено чрез ограничението на аксиомата за избора и в този смисъл „ще свърши“, поради което терминът „есхатологично бъдеще“ изглежда уместен, въпреки че може „да свършва“ в безкрайността (в безкрайно отдалечен момент от време).
И така, след като сме формализирали времето като броене (в общия и нетривиален случай – на множество, което не е крайно), ние вече сме потвърдили възможността единичен елемент да бъде избран. Съществува обаче и друг подход: от цялост да бъде избрана направо нейна част или да бъде съпоставена друга цялост, без да се преминава през посредническата инстанция на броенето или биекцията.
В този случай става дума за проектиране, а на една такава цялост (която според традицията в математиката пак се нарича множество с риск от объркване) се съпоставя число не като брой, ами като нейна „дължина“. Използваният математически термин е мярка, при което обаче – бидейки винаги число − може да се тълкува както като брой (но естествено трябва да бъде цяло неотрицателно число), така и като „дължина“ (тогава е реално неотрицателно число).
Ако въведем вероятността, следвайки класическите по-ранни работи на Колмогоров (Kolmogorov 1933, т.е. не цитираните по-горе, където въвежда принципно различния подход чрез сложността {34}), като отношение на мерки върху множества от пространството на събитията (Kolmogorov 1933, § 1, аксиома III), то ние лесно бихме могли да обобщим понятието за вероятност до произволно комплексно число (подробен обзор и философска интерпретация в: Penchev 2010). Тогава естественото тълкувание е, че имаме мерки в две различни пространства на събития, при което те могат да се проектират помежду си: така се задава структура на векторно пространство със скаларно произведение, каквато представлява хилбертовото пространство.
Отсъствието на универсално пространство на събитията обаче торпилира аксиомата за избора. Тогава вместо единното универсално броене, респ. време, гарантирано от винаги добрата наредба, ние разполагаме с повече от едно, но частични броенета, съответно времена или което е все същото, многоизмерно време (броене), тъй като разполагаме с добра наредба само в същински подмножества на някога универсалното пространство на събитията.
Този обобщен случай се реализира „отляво“, т.е. при отрицателните информационни кривини, съответстващи на положителен принос на небитието, от квантовата механика, а „отдясно“, при противоположна информационни кривини и принос на небитието – от теорията на относителността. И в двата случая универсалният избор е обобщен до проектиране. Макар и сродени чрез проектирането, двете области са противоположни количествено. Това положение на нещата ще се постараем да изтълкуваме чрез въведеното по-горе математическо понятие за време и по-специално, чрез разбирането за миналото като вече преброеното и за бъдещето – като още непреброеното (не е необходимо уточнението дали изобщо може да се преброи по започнатия начин, или не).
Ключът ни дава знакът на величината, която нарекохме принос на небитието. Всъщност „отляво“ възможното е реално и това съответства на ситуацията, когато въпросната възможност, макар и да не се реализира в момента, се е осъществила в поне един минал момент. Отрицателният опит от миналото е наистина опит и увеличава косвено вероятността на положителния. Всъщност това положение на нещата, на което сега само допълваме с математическа обосновка, е добре известно не само във философията, но и в общоприетия „здрав разум“.
Не така стои обаче въпросът „отдясно“: тогава възможното е просто въображаемо, то е чисто хипотетично и само теоретично допускаме, че може да се случи в бъдещето. Вероятността да не се случи, т.е. количественият принос на небитието, е с отрицателен знак спрямо вероятността да се случи, спрямо „приноса на битието“. Такъв възглед е отново широко разпространен във философията и здравия разум.
Какво следва? Миналото съответства на областта с отрицателна информационна кривина, бъдещето – с положителна, настоящото − с нулева. Тъкмо последното е областта на нескритостта, на феномените, от която естествено тръгва, но и в дълбоката философска основа следва да тръгне нашето познание, за да опише противоположното по математически знак, но сродно като скриване особен тип битие на миналото и бъдещето. Именно настоящето уравновесява сложност и случайност, качество и количество, дуалните страни на всяка допълнителност, на нашето питагорейство и е абсолютната отправна точка за изследване на миналото и бъдещето, на времето и битието.
‘Стрелата на времето’ „мести” еднообразно репера на нулевата информационна кривина по посока на положителната експлицитно, но заедно с това имплицитно запазва разликата между минало и бъдеще, между отрицателна и положителна информационна кривина. В настоящето обаче, бидейки с тотално нулева информационна кривина, биха могли да съществуват участъци както с положителна, така и с отрицателна информационна кривина, съответно в настоящето времето е (все още) обратимо.
Можем вече да забележим, че при възприетите по-горе определения, от противоположния принос на небитието в квантовата механика и теорията на относителността следва също така и че са фундаментално различни по отношение на концепцията си за времето. Квантовата механика отъждествява времето с миналото, а теорията на относителността – с бъдещето. Съответно и особено релефно това проличава в различния начин на реконструиране на отсъстващата друга половина от времето. Фактически квантовата механика третира „своето“ бъдеще като минало, все едно от гледна точка на една завършена и в този смисъл актуална, действителна вечност, докато теорията на относителността, обратно, „своето“ минало – като бъдеще и следователно, като предстояща и потенциална, възможна вечност. Съответно явленията на сдвояване (entanglement) и на гравитация са един и същ тип, но видени в противоположна времева перспектива.
Виждаме, че във философски план се нуждаем от една обобщена модалност, която да включва възможността и действителността. Тя следва да се отнесе към вечността, така че да може да я разглежда едновременно в противоположните модалности на възможност и действителност, на минало и бъдеще. Тя е необходима и за настоящето, за да осъществи сливането на минало и настояще, което и именно я конституира като равноправен времеви модус. Най-стене, поради това че се проявява единосъщо в настоящето и във вечността, тя не просто ги сродява, но позволява да се погледне на тях атемпорално като на нейни различни ипостаси. Съчетавайки в модалност тотални противоположности, може да я отъждествим с модалността на Абсолюта.
За нея ще използваме термина Dazeit, който е неологизъм от немската дума Dasein със значение на битие (Пенчев 2008: 113-118), но придобива принципно нов, макар и обобщаващ смисъл във фундаменталната онтология на Хайдегер. Видяна вече в перспективата на Dazeit, фундаменталната онтология се преобразува във фундаментална история: много грубо казано, тя е възможно-необходимият (както и необходимо-възможният) ход на историята. Обратно, Dazeit може да се мисли като Dasein (положен) във фундаменталната история (Пенчев 2008: 98-133).
Освен това, съчетавайки характера на (абсолютната) модалност и на (универсалното) битие, проявяващо се заедно в настоящето и вечността, Dazeit може и следва да се разбира като битието на времето (Пенчев 2008: 113-118). Очевидно тези разкривани полагания са утаени в пластове, по-дълбоки от всяка онтология, включително и от фундаменталната онтология. Ако обаче сега се изкачим обратно, към онтичното или науката, то тук проекцията или представителството на Dazeit ще бъде информацията, мислена като отношение на възможности и следователно, като степен на подреждане по зададения еталон на едната от двете относими възможности. Най-сетне тя би допуснала количествен израз като отношение на вероятности, като условна (наричана и относителна) ентропия. Веднага се вижда, че такава интерпретация е съзвучна с подхода на Колмогоров и Мартин-Льоф за алгоритмично тълкуване на относителната ентропия, информацията като относителна сложност или отношение на сложности.
Доколкото се опитахме да представим едно аксиоматизирано разбиране за времето, то от него би могло да се изведе подобен подход относно Dazeit с елементарни дедукции. Квантово-механичната вечност предполага най-голям ординал или последен момент от време, спрямо който всички са минали. Обратно, вечността на теорията на относителността изисква най-малък ординал или начален времеви миг, спрямо който всички са бъдещи. Най-сетне Dazeit, който следва да отъждестви двете вечности, ще предложи съвпадението на най-големия и най-малкия ординал в една особена точка, настоящето, и във вечността.
Това може да се случи само при циклично време. При него е възможно както напълно да отсъства линейна компонента на времето, така и да бъде добавена и обединена с циклична под формата на спирала, което е в съзвучие с хегелиански концепции за времето. Съответно цикличната концепция за времето имплицира неограничимо броене в двете посоки, както и идемпотентност на добрата наредба при обръщане посоката на броене. Идемпотентността съвпада с „двупосочен“, или усиленият вариант на аксиомата за избора, която изисква – видяхме по-горе – конструктивност и оттук повторимост на избора.
Неограниченото броене в двете посоки е принципно различно в двете разновидности на цикличното време – кръговата и спиралната. В скоби можем да добавим, че заради коректността на̀гледа трябва да приемем радиуса, съответното обиколката на окръжността на кръга или на проекцията на спиралата, за безкраен. При кръговото двупосочно броене просто ще добавим една отрицателна безкрайност, като броенето е собствено, т.е. или се изключват неброими безкрайности, или то се осъществява след прилагане на неограничена аксиома за избора, заместваща спиралата с кръг, напр. след проекция.
При спирално двупосочно броене, броенето не е собствено, тъй като е валидна аксиомата, че за всяко множество съществува множеството от всички негови подмножества. Ако е валидна аксиомата за фундиране, която обаче забранява обратната посока на спиралата, попадаме в канторовска теория за безкрайността. Очевидно в нашия случай, трябва да разрешим неограничено фундиране и съответно да постулираме за всяко множество съществуването на „множество-логаритъм“, т.е. такова, за което множеството от всички подмножества съвпада с изходното.
В случая на безкраен кръг интерпретираме съвпадението на двете частични вечности – на квантовата механика и на теорията на относителността – чрез математическа структура „циклично време“ (съответната на Dazeit) не само в настоящето, но и във вечността непосредствено, чрез целостта на кръга. Всъщност тогава точката на настоящето и безкрайният кръг на вечността представляват двата гранични елемента на параметрично множество от окръжности. Ако обаче сме отъждествили настоящето и вечността, с това само повтаряме на метаравнище, което обаче чрез самото повторение и идентифицираме като обектното равнище, операцията „циклизиране“, която се извършва чрез отъждествяване на най-малкия и най-големия елемент. И ‚битието‘ по Хайдегер, и ‚съзнанието‘ по Хусерл са или се образуват като тоталности чрез такова затваряне, циклизиране, след което възможността за каквото и да било разграничение между тях отпада именно по силата на единосъщата им тоталност: те се оказват не повече от различни имена на цялостността, заявяващи като своя равностойна претенция нейната същност. Те не отхвърлят своето друго – другото име, а го включват в себе си.
Нека подчертаем, че Хусерл дефинира феноменологическата редукция и оттук феномена чрез “епохе” {35} – т.е. чрез „заскобяването на света”, всъщност по нашето тълкувание, чрез отъждествяване на света със съзнанието изобщо като „абсолютно поле на опит“:
Феноменологичната редукция като епохе е въведена в Гл. 1, обаче още не е показано, че чрез нея израства едно универсално, затворено в себе си безкрайно и абсолютно поле на опит, което, понеже светът е поставен извън играта, не може да бъде реално поле, следователно нищо подобно на психологическото съзнание (Husserl 1976Id(2): 630).
Следователно, ако както по-горе циклизирането води до тяхното съвпадение, то може поне да се предположи като хипотеза – на основа на Хусерловия подход – и обратното: и така да се установи тъждественост или поне еквивалентност (изоморфизъм) на “тоталност, получена чрез циклизиране”, и ‘феномен’. Това е една друга възможност за дефинирането му, съответна на основната идея сега. Оттук ейдетичната редукция, която открива „особения елемент“, който − бидейки едновременно най-малкия и най-големия – позволява зацикляне и превръщане разглеждания обект или съвкупност в тоталност. Виждаме едва сега, по един друг начин тясното единство на ейдетичната и феноменологичната, а по същество и на трансценденталната редукция, върху което акцентира Хусерл в друга светлина (Husserl 1976Id(1): 228).
Тъй като виждаме, че при нашия подход получаваме перспективата за многократно и дори неограничено прилагане на „циклизиране“, то бихме могли да я възвестим в епистема или в самата епистема. Досега ние противопоставяхме една феноменна, евентуално дуална епистема на класическата двуполюсна, сега обаче вече получаваме възможност да ги обединим чрез отъждествяваме на двата полюса, при което ще получим огромно многообразие за всяка конкретна екземплификация на двуполюсната схема. И така, оказва се, че следва да мислим понятието за феномен обобщено, като сливане на хоризонт и позиция. Грубо казано все, по-пълното потапяне в собствената позиция ни възвръща в хоризонта обаче през една безкрайна точка, корелативна на настоящето. Съществена е сега не нейната безкрайност (напр. безкрайна отдалеченост), а еднополюсността ѝ.
Електромагнитната вълна и по-точно математическият ѝ модел предлагат континуален на̀глед за съчетаване и плавно преобразуване между двуполюсно и еднополюсно битие, съответно чрез електрическата и магнитната компонента. Фундаменталната константа на максималната или граничната скорост на светлината за гладко преобразование в пространството можем вече да я мислим като обусловена от самата граничност за гладко преобразуване между двуполюсност и еднополюсност и обратно.
Възприето е концепцията за циклично време да се смята за хронологично първата, дори „примитивната“, подсказана от естествения кръговрат на годишните сезони или на нещата. Тя се революционизира от християнската концепция за време, която разкъсва цикъла, в линейно развитие от Сътворението до Страшния съд, т.е. ограничено с начало и край. Редица немски философи, напр. Хегел, Шопенхауер, Ницше, Хайдегер, под една или друга форма отново включват цикличността експлицитно или имплицитно в своите обсъждания за времето. Достатъчно е да се спомене „вечното завръщане“.
Времето във физиката възниква на основата на християнското линейно време. Теорията на относителността и квантовата механика останаха в неговата парадигма, макар и за втората това да беше мъчително, свързано със съмнения и колебания. Следва обаче да се запитаме дали и в каква степен концепцията за линейно физическо време е подкрепена от експеримента и в каква е наш общ предразсъдък, плод на инерцията на християнската култура. Очевидно Сътворението е секуларизирано във физическата хипотеза или теория на Големия взрив. Доколко обаче опитните данни, привеждани в негова подкрепа, не допускат алтернативно обяснение чрез хипотеза за циклично (евентуално безкрайно) време?
Обсъждането на тези въпроси би излязло далеч извън обхвата на настоящия текст. В неговите рамки, обаче, единният информационен подход към квантовата механика и теорията на относителността подсказва и може би необходимо изисква циклизиране и съответно циклична концепция за времето. Видяхме по-горе, че това би било съзвучно с обобщаване на Хайдегеровата фундаментална онтология и Dasein със и във фундаментална история и Dazeit.
Известни са трудностите за обединяването на квантовата механика и теорията на относителността единна теория на четири основни физически взаимодействия, т.нар. Великото обединение. Теория на квантовата гравитация, която да се вписва в Стандартния модел, няма.
В настоящето изложение е естествено мястото за хипотезата, че причината за това е много по-дълбока и се корени в самата епистема. Съответно тяхно обединение би било възможно след преобразуването ѝ, като се опитваме да скицираме нейните контури.
Нека обърнем внимание, че аксиомата за избора имплицира относителност на броимо и неброимо, така да се каже, в едната посока: колкото и „гъсто“ да е едно неброимо, то все пак в него съществува добра наредба и следователно може да се преброи. Обратното би било една холистична хипотеза или аксиома за кохерентността (цялостността, неделимостта): всяка добра наредба (разделяне на части) може да се премахне, така че всяко множество да се разгледа като неделима цялост, като кохерентна суперпозиция на своите състояния или части в смисъла на квантовата механика. С други думи, всяко множество може да се разгледа като елемент. Обратното, че във всеки елемент може да се открие вътрешната структура, като се разчлени на преброими части, се гарантира от аксиомата за избора. От обсъденото по-горе следва, че съвкупността от обичайната аксиома за избора и сега добавената аксиома за кохерентността съвпада „двупосочната“ или усилената аксиома за избора.
Може да се спомене следното. Ако се допусне неограничено правило за изключеното трето, то всяко множество е или елемент на себе си, или не е елемент на себе си, но във втория случай по силата на аксиомата или е елемент на друго множество, или не е елемент на никое множество. Обаче такъв елемент, който не е елемент на никое множество, трябва да съвпадне с множеството от всички множества и по силата на аксиомата за кохерентността да е елемент на себе си. С това се очертава нова и необикновена перспектива за „квантово“, по-точно дуално решение на теоретико-множествените парадокси. С примера на множеството от всички множества, които не принадлежат на себе си, аксиомата за кохерентността ни разрешава да разглеждаме всяка една от двете противоречиви алтернативи, но ни забранява да ги разглеждаме заедно, т.е. постулира дуалния им, допълнителен характер.
На пръв поглед аксиомата за кохерентността ни насочва към следния тип философско решение: при възникване на неразрешимо противоречие да се забранява разглеждането на взаимно изключващите се алтернативи заедно. Така ще останем в рамките на универсално правило за изключеното трето и няма да въведем възможността сред действителността или да има нужда от виртуализиране на онтологията. Квантовата механика в стандартната си интерпретация се придържа или поне е склонна да се придържа към такава позиция. Тогава нямаме нужда от въвеждане на вероятността и особено на квантовата вероятност като количествена мярка за възможността в качеството ѝ на онтологическо трето.
С това обаче аксиомата за кохерентността беше мислена прекалено широко, в смисъла на отслабено, не по начина и в контекста на настоящето изложение, в което – както показахме малко по-горе – водеща е цикличността. Приложена към аксиомата за кохерентността, тя изисква целостта на едно множество да се разглежда единствено като елемент на самото него, т.е. според също използвания по-горе термин – като неговия „особен елемент“. Следователно предлаганата усилена аксиома за кохерентността има следната проста формулировка: всяко множество има особен елемент. Малко по-различни и по-скоро философски твърдения са феноменологическата или питагорейската парафраза, съответно: ейдетична редукция е винаги осъществима и на всяко нещо е (представлява) и точно едно число (математическа структура).
При примера на множеството от всички множества, които не принадлежат на себе си, усилената аксиома за кохерентността изисква то да е празно, а празното множество да елемент на себе си и т.н., и т.н., т.е. включва в себе си т. нар. аксиома за безкрайността. Самореференциалността, ограничена сега до множеството от всички множества, които принадлежат на себе си, не поражда проблеми и тази констатация е обобщена достатъчно широко за нашите цели в теоремата на Мартин Льоб (Löb 1955). Бихме направили още една крачка в същата посока, ако заявим, че цикличността е необходима за „основите на математиката“, за да ги укрепи срещу „кризи“ и тъкмо на това помага аксиомата за кохерентността.
Как това ще стане? Трябва да покажем как всяка математическа структура имплицира добра наредба и се циклизира като цялост. Обратно, на всяка една цялост ще съпоставим точно една математическа структура и това съпоставяне ще се мисли като пределно обобщена аксиома за избора. Тогава между цялост и ред се постулира – чрез двете за двете посоки – взаимно еднозначно съответствие. Тази еднозначно определена структура може да се мисли като собствения ред, изискван именно от цялостността на целостта, а информацията да се определи като тази фиксирана двойка от цялост (система) и ред (структура).
Всяка математическа структура може да се тълкува като обобщено число, съпоставено на цялост по следния начин. Тя разделя свойствата или степените на свобода на фиксирани (логически константи) в аксиомите, които я дефинират, и свободни (логически променливи). Това разделение може да се оприличи на един бит информация за всяко свойство. Да отбележим мимоходом, че в онтологичен план противопоставянето на истина срещу лъжа в логиката е съвсем различно и може би дори противоположно на теоретико-информационното обединяване на стойностите ‘0’ и ‘1’ в рамките на един бит. Подходът на логиката съответства на линейност, а този на теорията на информацията – на цикличност. Идеята за бит е холистична за разлика от редукционистката идея за истината като adæquatio, възприета от логиката.
По-нататък, ако обединим стойностите на битовете за всяко свойство, фиксирано или не в математическата структура (естествено е да смятаме, че са безкрайно множество), то ще получим стойността на един на кюбит като обобщено число за дадената математическа структура. Тогава Ψ-функцията ще представлява една конкретна добра наредба на всички математически структури или квантовият номер на един квантов компютър. Така светът ни се открива откъм една своя, досега скрита, за някои може би дори отблъскваща фундаментално-изчислителна страна.
В най-общ план холистичността и цикличността вървят ръка за ръка, както впрочем и числовостта. Всъщност в квантовата механика и информация ние вече боравим със самата вселена, която обаче идва поради изначалната цикличност от „най-малкото“, от „квантовите обекти“, напълно в духа на възгледите на Николай от Куза {36}.
С помощта на двата на̀гледа за цикличност − кръга и спиралата − противоположните по смисъл аксиоми за избора и кохерентността могат да се представят съответно като преобразованието (проекцията) на спиралата в кръга и обратното. Последователното би било да добавим цикличност и към самата спирала като цяло, като съединим края и началото ѝ. Бихме могли начина на получаване на циклична структура да продължим да репродуцираме неограничено, при което би възникнала своеобразна фрактална структура на основата на кръга. Ако заместим кръга със сфера и я интерпретираме като кюбит, бихме получили цикличната фрактална структура, съответна на хилбертовото пространство. То на свой ред може да се тълкува като линейния вариант, тъй като след линеаризиране заедно с цикличността ще изчезне и фракталността. Може да се допълни, че цикличното измерение за разлика от линейното сякаш е „огънато“ спрямо едно второ допълнително измерение. С това инвариантността по отношение на линейност и цикличност имплицира още на едно фундаментално или философско равнище своеобразна „огледална симетрия“ или Т-дуалност (термините са заети в качеството на философско обобщение от теорията на суперструните, включваща идеята за суперсиметрия) между четните и нечетните измерения, респ. еквивалентност на реципрочните разстояния, в духа на вижданията на Николай от Куза за единосъщието на малко и голямо.
Характеристиката „цикличност“ на времето е тясно свързана с тълкуването му като броене, от каквото всъщност потеглихме и от дуалистичното питагорейство. Тази връзка е толкова същностна, че се запазва като теорема при една от най-фундаменталните математически структури – групата. Въвежда се свойството цикличност на група, което добре представя нашата идея за цикличност на времето, освен това – безкрайни циклични групи. Доказва се, че циклични групи, в т.ч. и безкрайните, са непременно броими (напр. Hungerford 1996: 35).
Според нашия на̀глед с кръга и спиралата, броимостта се свързва с оставането в кръга, евентуално под давлението на аксиомата да избора, вместо изкачване на нова витка в спиралата и това е очевидно еквивалентно на цикличност. Оттук могат да се съпоставят броимост и цикличност. От една страна, оставането в кръга, т.е. цикличността означава броимост, тъй като няма начин да се различат мощностите „при различен брой обороти“. От друга обаче, броимостта има поне два модела, цикличен и линеен.
И ако се върнем обратно към хода на мислите, то следва да се отбележи, че към идеята за броимост на времето беше добавено още нещо, за да се получи цикличният модел. Това беше тъкмо „затварянето на кръга“, провокирано от отъждествяване на края и началото, на последния с първия ординал. Осъществяваше се под все по-радикални лозунги: за съвместяване на теорията на относителността с квантовата механика на информационна основа, после за отъждествяване на бъдещето и миналото обаче не на основа на обратиммост на времето, т.е. не чрез обръщане на стрелата на времето.
Ако направим това отъждествяване, то ние губим възможността за типа на полярната логика, към който принадлежи класическата булева решетка. Вместо нея ще възникне циклична решетка и съответно, нов тип циклична логика (Yetter 1990) {37}. Ако изходна база за нейното построяване е булевата, то тя ще притежава наистина скандалното свойство за отъждествяване на истината и лъжата. В такъв случай разделението ще е само между тавтологии (без значение дали тавтологични истини или тавтологични неистини) и (нетавтологични) пропозиции или с друга терминология, между аналитични и синтетични съждения, между пропозиционални константи и променливи. Това, разбира се, е „логически трансцендентализъм“ {38}.
Ако цикличната логика е получена на основата на многозначна, то бившите междинни стойности на истинност ще следва да се тълкуват като степен на променливост, която ще има своята максимална стойност при еднаква отдалеченост от двата бивши полюса. На такава основа отново бихме могли да възстановим полярната логика, но като частен случай или по-точно – структура върху цикличната.
Общоприето е, че по времето на възникване и утвърждаване на класическото питагорейство концепцията за времето е циклична. Това навежда към питането: дали не е именно цикличната броимост, която да фундаментализира понятието за число и обратно, линейната броимост, която да го маргинализира. При пръв поглед това е така, цикличността – видяхме току-що – изисква броимост и поради това универсализира числата като знаците на броенето. Обратно линейната броимост имплицира висши мощности – по модела, съзрян от Кантор (Cantor 1932) – и оттук числата само външно се отнасят към континуума, като въпросът за неговото пълно конструктивно или дори финитно аритметизиране остава фундаментална дилема в духа на Хилбертовите проблеми. Ако континуумът се противопостави на всяка крайност, това изисква една специална хипотетична, и то, забележете, трансцендентна математическа същност − актуалната безкрайност. Така дори и в самата математика прониква идеята за отвъдната на математиката реалност, спрямо която нейните структури вече се обособяват, капсулират и противопоставят като модели. Математиката започва индиректно да се „поти“ над въпроса за трансцендентната ѝ реалност в собствените ѝ рамки, оставащи иманентни. Така бихме могли да осмислим „кризата в обосноваването на математиката“ в началото на XX век, от която и досега не е намерен безусловен изход.
Фундаментализирането на числото при питагорейството, на каквото навежда цикличността на времето, обаче има и друго, вече същностно измерение. Ако не се даде възможност на полюсите да се обособят, то това не може да се случи и с логиката. Обратно, обособяването е исторически наблюдавано при Аристотел именно след завършване маргинализирането на числото след питагорейството, осъществено последователно през неговото профанизиране и възвестяване на „Логоса“ при Хераклит, през Платон и „идеите“ към изучаване на философските категории именно в езика и изречението при самия Аристотел. Така питагорейството се откроява като другото на логиката, което може да е – и исторически и онтологично се осъществява – именно „преди“ и „след“ логиката.
Най-сетне можем да мислим самата цикличност като своеобразен „корелат“, аналог на другия полюс в двуполюсния модел, от който е останал новопроизведен само един полюс − числото или феноменът. Така бихме могли да тълкуваме смисъла на „жизнения свят“ от последната работа на Хусерл (Husserl 1976K: 48-54) като този корелат именно в контекста на „галилеевата математизация“ (Husserl 1976K: 20-60), която според неговата критика въвежда числото само несъщностно, което е неизбежно след като двуполюсната схема и линейното християнско време остават недокоснати.
Ако си позволим да перифразираме този модел, можем да говорим не за число и „нещо реално, за което то се отнася“, а за число и контекст, който от това се тълкува като негов. Например 64-те хексаграми на И Цзин, китайската Книга на промените са такива, и то циклизирани числа, на които съответстват различни контексти, разкривани в ситуацията на „сливане“ на числовия полюс, „феномена“ и неговия наличен жизнен хоризонт в конкретното гадаене.
Цикличното разбиране за времето насочва физиката да се разбира като мястото, от което математика влиза в света, тъкмо както времето като физическа величина въвежда числови стойности за физическите величини като техни стойности за даден моменти от време, вече получил числово име.
Според теоремата, понякога наричана основна, за цикличните групи (напр. Hungerford 1996: 35) всяка подгрупа на циклична група е също циклична. Ние ще пренесем това по отношение на цикличното време по следния начин: ако времето е циклично, то и всеки интервал е също цикъл (подцикъл). В този контекст бихме обърнали внимание, че основната физическа величина на енергията, която е и квантовият корелат (спрегнатата величина) на времето, може да се приравни – както прави за първи път Айнщайн през 1905 г. (Einstein 1905Ü) – на реципрочната стойност на брой елементарни цикли за единица време, ако големината на константата на Планк се тълкува като величината на един елементарен цикъл.
Така по философско-математически път се насочваме към основната идея на типа на струнните теории във всичките им разновидности и съвременни обобщения {39}. Почти всички изискват само „затворени струни“, които съответстват на нашите времеви цикли, а само няколко, и то ранните, освен затворените и отворени. Светът се мисли като „направен“ от цикли време. Така времето е субстанцията на света и такова разбиране в крайна сметка не е много по-различно от – и по същество е корелативно на – схващането на енергията като физическата първооснова на света.
Ако циклите бъдат разтворени, ще се получи една решеткоподобна математическа структура, която имплицира много сложна, но логическа структура на света. Всеки бивш цикъл, а сега отсечка в решетка, ще е една добра наредба в частично нареденото множество. Така изначалната числовост, съчетана с цикличност, се оказва (поне донякъде) еквивалентно представена чрез обичайните за нашето съвремие възгледи за линейно време и логическа структурираност на света, който обаче сам по себе си е другият полюс спрямо нашето познание.
Сега ще обърнем внимание на едно обстоятелство от тип, който „сериозните учени“ биха пренебрегнали като случайно. За съжаление или по-скоро за щастие нашето тълкуване на случайността като сложност ни лишава от естественото оправдание за подобно действие. Става дума, че терминът на английски за ‚струна’ е “string” и за разлика от българския – „струна“, той се използва за означаване на алгоритмична или числова последователност. Така ние ще кирилизираме термина като „стринг”, за да обозначаваме заедно (затворена) струна и кодиращо я число, алгоритъм, който се получава след нейното разтваряне и според питагорейската хипотеза е точно един и еквивалентен. Само ще изкажем засега хипотезата, че всеки стринг в този смисъл е изоморфен на кюбит, но ще отложим систематичното и подробно обосноваване за друга публикация.
Може да се подчертае разликата между обратимост на линейно време и неговото „зацикляне“, което всъщност запазва стрелата на времето. Видяхме по-горе, че може да се обсъжда обратимост и на цикличното време.
По-интересно е да се разгледа начинът на циклизиране, а преди това − на линеаризиране на една тримерна сфера (кюбит), за да се покаже, че – за разлика от равнинния случай: кръг и отсечка – в кюбита линейната и цикличната форма съвпадат. Наистина кюбитът е изоморфен на повърхността на единична сфера и точка от нея (респ. така определения тримерен вектор). Следователно кюбитът може да се мисли като ориентация на сфера и оттук – като ориентирана сфера. Антиподът на точката е другият полюс, да го обозначим като отрицателен, и оста на сферата от отрицателния към положителния полюс задава посока за всички меридиани и в този смисъл осъществява линеаризиране на сферата. Нещо повече, така ориентирана сферата поражда върху своята повърхност (както и по разпространяващата се сферична вълна, хирерконуса в пространството на Минковски) континуална частична наредба и оттук неизброима съвкупност от решетки, които ще наричаме оплетки, за специалния случай върху сфера. Как?
За всеки две точки, различни от полюсите, съществува точка, по-близка до положителния (северния) полюс, която ще тълкуваме като максимум, и друга, по-близка до отрицателния (южния) полюс – техният минимум. Ако въведем произволна рационална дискретизация за оплетката {40}, то ще съществува най-малък максимум и най-голям минимум за всеки две точки и така ще породим изброима съвкупност от рационални решетки. Няма причина дискретизацията да не се осъществи със стъпка – ирационално число, тогава ще имаме неизброима съвкупност от ирационални решетки. Най-сетне можем да оставим дискретизацията да клони към нула и да получим континуална оплетка. Прибавянето на двата полюса към оплетката я превръщат в свързана, т.е. с абсолютен максимум и минимум. И така ясно показахме, че кюбитът е съвкупност от всички възможни решетки върху единичната сфера. Заедно с това всеки конкретен кюбит задава една привилегирована оплетка, чиито два периода (две комплексни числа) могат едно-еднозначно да се съпоставят с двата комплексни коефициента на кюбита и след естественото нормиране от това, че се разположени по повърхността на единичната сфера, да се приравнят с тях.
Ако съпоставим оплетка и информационна кривина, то тази привилегирована оплетка ще съответства на нулева информационна кривина. Всички „по-гъсти“ мрежи ще са с отрицателна информационна кривина, а „по-редките“ – с положителна.
Бихме могли да преобразуваме нашето разглеждане върху повърхността на безкрайна сфера, при което континуалният характер на оплетките след обратно трансформиране върху единичната сфера, ще се запази дори и при минимална стойност за гъстотата на оплетката. Константата на големината на клетката на минималната оплетка върху безкрайна сфера е естествено да се свърже с тази на Планк, още повече че кюбитът, интерпретиран като тримерна сфера, предполага нейната повърхност да представлява подмножество на фазовото пространство.
Това беше линеаризираният вариант на сферата, който както всяко линеаризиране и въвеждане на два полюса, поражда множество от решетки (логики), в случая – континуално. Нашият замисъл беше още по-амбициозен, а именно да покажем, че върху кюбита (сферата) линеаризираният и циклизираният вариант са изоморфни.
За целта първо трябва да дефинираме какво ще разбираме под „циклизиран вариант на кюбита (сферата)“, т.е. така да се каже собствено информационния, а не логическия вариант на кюбита. Според договорената процедура за пораждане на цикъл просто трябва да отъждествим двата полюса, като ще се условим това да направим върху положителния. При това получаваме тъкмо кюбит: повърхност на сфера и точка върху нея. Показването на изоморфизма между логическия и информационния вариант на кюбита се оказа тривиално.
Да отбележим, че така получаваме нов тип, и то богато съдържателна епистема, в която двуполюсната и феноменологическата, съчетана с холистичната, са еквивалентни. Естествено е в онтологичен план да отъждествим единствения полюс с настоящето и чрез неговия антипод на сферата да разграничим миналото като посоката от антипода към настоящето и бъдещето – като посоката от настоящето към антипода. Така времето се оказва, вместо изначално, че е допълнително породено от настоящето (полюса) и цялостността (сферата). Размяната на имената на полюсите, т.е. противоположната ориентация на сферата ще съответства на обръщане посоката на времето. Следователно в нашия подход стрелата на времето получава просто обяснение. Нейната необходимост следва от привилегироваността на настоящето, т.е. от самата ориентираност (каквато и да е тя) на сферата.
Върху сферата добрата наредба се съхранява като частен случай, напр. по двата меридиана на всеки голям кръг, и може да се тълкува като ход на времето, каквото се разбира обичайно и ежедневно. То обаче достига до своя крайна точка, възел в оплетката, след което променя своята посока. Добрата наредба обаче ще се запази, ако се движим по несамопресичаща се, непрекъсната линия.
Макар да използвахме отъждествяването на минало и бъдеще във вечността, за да получим метод за зацикляне на времето чрез отъждествяване на двата полюса, по-нататък ще мислим случайността и сложността, квантовата механика и теорията на относителността по-скоро чрез съпоставянето и отъждествяването на еднополюсния и двуполюсния модел върху сфера (кюбит). В частност тъкмо така можем да обосновем квантовия компютър (Feynman 1996: 185-211) като принципно различно изчисление от машина на Тюринг. При него случайността и сложността се отъждествяват.
Все пак ако се приеме като изходна сферата с ос, т.е. линейният вариант, конвенционалността да се отъждестви настоящето с положителния полюс може да се преодолее, ако се разглежда инвариантност спрямо отъждествяване с отрицателния полюс, което ще означава инвариантност спрямо обратимост на времето и в „сферичната парадигма“. Ако обаче изходен е еднополюсният модел, такава инвариантност няма причина да се търси. Склонни сме да се придържаме към последното в рамките на квантовата информация и нейната философия.
По-нататък следва да се насочим към вникване в принципната разлика на кодирането върху кюбит и бит (Kochen, Specker 1967: 70, esp. “Remark”), която се състои в следното. Като се абстрахираме от вида на числата (чиито цифри в случая на кюбит са безкрайно много), то кодирането върху бит е върху едно число, а при кюбит – нередуцируемо върху две. В какъв смисъл „нередуциремо“? Двете числа са едновременно неизмерими (ако се интерпретират обратно в квантовата механика, откъдето произхожда ‘кюбитът’, те са спрегнати величини, подчинени на изискването за неопределеност). Но въпреки че са едновременно неизмерими, те са еквивалентни, поради което кодирането върху кюбит съвпада с кодираното според лелеяния в този текст завет на феноменологията. И така след кодиране в кюбит има както и в класическия случай неизразим остатък, то той бива отъждествен непротиворечиво с второто, винаги заедно неизмеримо число. А се доказва, че описанието чрез него съвпада с първото, измеримото и следователно кодирането върху кюбит е пълно. (Разбира се, това е парафраза на фон Ноймановата теорема за отсъствие на скрити параметри в квантовата механика.)
Такова изясняване на пръв поглед примирява квантовото кодиране с предвиденото в прочутата теорема на Гьодел, известна като първа теорема за непълнотата, в чиито рамки кодирането е върху едно число и чийто резултат изключва по принцип пълното кодиране за достатъчно сложния случай, визиран в предния параграф. Тоест изглежда, че противоречието има просто обяснение: става дума за различни случаи.
Всъщност теоремата на Гьодел съдържа един нерешим в нейните рамки казус, който отсъства в случая на квантово кодиране, и това е проблемът дали може да се приложи към самата себе си. Неговата вътрешна неразрешимост може да се покаже по много и разнообразни начини (Пенчев 2010). Поради това двата случая не са еднопорядкови. Квантовото кодиране е общият случай, докато Гьоделовото изисква допълнителна предпоставка, по същество еквивалентна със самата теорема. Изразено обратно в термините на квантовото кодиране, тя би гласяла, че се забранява самореференциално кодиране, т.е. кодиране на неизразимия остатък след кодирането с първото число чрез второто, заедно неизмеримо с първото, но еквивалентно. В самия текст на Гьодел обаче, който предхожда като публикуване (1931) резултата на фон Нойман (1932), тази „скрита предпоставка“ не е експлицирана, въпреки че сродни твърдения се използват неявно, за да се игнорира прилагането на теоремата към самата себе си.
Обаче бихме могли да използваме идеите на самореференциалното, квантово, допълнително кодиране, за да доразвиваме логиката по посока на прехвърляне на мост между синтаксис и семантика, например в теорията на институциите:
Аспектът на правилност на правилното обосноваване се указва чрез аксиоматизиране на понятието за удовлетвореност [на условията], а аспектът на обосноваване се указва чрез позоваване на категорната логика, която прилага теорията на категориите към теорията на доказателството чрез разглеждане доказателствата като морфизми. Следователно, институтициите осигуряват балансиран подход, при който и синтаксисът, и семантиката играят ключови роли (Mossakowski, Goguen, Diaconesku, Tarlecki 2007: 112).
Теорията на институциите се разглежда или като особена, логическа част от теорията на категориите, или като равноправен, самостоятелен еквивалент на теорията на категориите (Goguen, Mossawski, de Paiva, Rabe, Schröder 2007). Всяка логическа категория, в смисъла на теория на категориите, е институция, а морфизмите между обектите – транслации (напр. Bueno, Cognitio, Carnielli 2004, Mossakowski, Diakonesku, Tarlecki 2009). Следователно ние ще търсим (поне) една особена институция, в която да може да се докаже изоморфизъм между обект и транслация, при положение че обектът и транслацията са допълнителни в смисъла на квантовата механика. По-надолу ще бъде отделено специално място на някои идеи по този въпрос.
Да се върнем отново към философското осмисляне на холистично-информационната парадигма, почерпена от квантовата механика. Твърде изненадваща е новата, активна роля на нереализираните възможности, в настоящата работа обобщавани с термина „небитие“. Тъкмо техният принос определя „информационната кривина“. Нека видим какво означава това що се отнася до нашия свят на положителна информационна кривина, т.е. на положителна ентропия и поради това нарастваща с времето:
В нея небитието чрез своя принос прави света по-случаен от сложността му. Какъв обаче е ефектът за света като цяло от това положение на нещата, което сме свикнали да оценяваме негативно? Причината за отрицателната нагласа е разбирането на случайността като ирационална и противопоставена на рационалната и позитивна сложност. Това е предразсъдък на модерността, формиран в тясна връзка и под влияние на съвременната наука. В резултат на това единственото достъпно познание на случайното е под формата на статистика на случаи, разпределящи се по законите, управляващи обективната вероятност.
Ала ние вече се насочихме към решително обобщаване на този възглед и чрез това към преодоляването му. За нас случайността е вече форма на сложност, а свързваната с нея ирационалност – форма на рационалност. Едва сега можем да изясним ролята на случайността в цялостното движение на света.
От преобладаването на случайността над сложността следва наличието на дискретни морфизми: светът може да се изменя „по-бързо“, отколкото в сравнение с гладкия случай. Може да се използва такава метафора: случайността „влачи“ света в определена посока. Случайността е само видимо хаотична и нейната сила и действие остават скрити зад набедената неутралност поради предполагаемото уравновесяване на противоположни случаи.
Оттук пред нас се открива изненадващ смисъл за значението и физическия смисъл на константата на Планк. Дискретният скок, който тя гарантира, задава един пределно допустим минимум на ентропията и осигурява преобладаване на случайността над сложността що се отнася до макро света. Така макро светът може да бъде влачен допълнително в степен, която надвишава собствената му сложност, максималната самоорганизация, която може той сам да достигне чрез постъпателно развитие. Тази естествена сила, която все едно отвън придвижва света, произтича от небитието, от нереализираните възможности.(Тъй като обемът надвиши разрешения от блог-сървъра, текстът на самата първа част е разделен на три третини: първата третина е тук, а третата - тук. Целият текст може да бъде изтеглен от кой да е от трите адреса: тук или тук, или тук.)
