Текстът се публикува в хода на написването му:
допълва се и се редактира ежедневно!
допълва се и се редактира ежедневно!
Пълният текст, последна редакция, във формат .pdf може да свалите от кое да е от следните четири места: Scribd, Calameo, SlideShare, WordPress.
Васил Пенчев
САМОТО ЧИСЛО.
КВАНТОВИЯТ КОМПЮТЪР, ИЛИ ЗАЩО ДВЕТЕ ТЕОРЕМИ НА КУРТ ГЬОДЕЛ ЗА НЕПЪЛНОТАТА СА ОТ ФУНДАМЕНТАЛЕН ФИЗИЧЕСКИ И ФИЛОСОФСКИ ИНТЕРЕС
Self-referentiality – Our conceptual background – The set, whose set of all subsets is countable – The axiom of foundation (of regularity) and the axiom of choice – The approach of Gentzen and Tarski’s conception of truth – Again about Ψ-function as a number in a generalized counting system – The theorem of Martin Löb about the proposition stating its proper provability – Ramsey’s redundant concept of truth – Subjective and objective probability – An interpretation in quantum terms – The common base for the Liar and Arrow paradox – An approach to the completeness of Peano Arithmetic – Syntax and semantics – The Gentzen theorem − The principle of transfinite induction – The strategy for the dual foundation of completeness − The idea for dual consistency – Transfinite induction until ε0 – Тhe three levels of mathematics in Gentzen – The question about mathematics and physics beyond completeness – Finitism, constructivism, and ”actualism” (formalism) – From the viewpoint of “dualistic Phytagoreanism ” – “Successor” function and “wholeness” function – Transfinite and complete induction – Transfinite calculation and transfinite algorithm – Quantum computer by two Turing machines – Superfinite induction – The duality of the finite and the infinite – The Gentzen arithmetic – About the unprovability of transfinite induction until ε0 – „The possibility of reconciling the different points of view” – Mathematics and the physical reality in Gentzen – An reflection on the reference point to the Gödel theorems – Gödel’s sketch of the first theorem of incompleteness – After involving an antinomic statement in a proof – The worth – A theory with a contradiction and a theory with an undecidable statement – If the first theorem is applied to itself – A statement, whose validity implies its undecidability – The idea of non-Gödelian, or Hilbertian mathematics – ω-consistency – The meta-mathematical exclusion of self-applying the first theorem of incompleteness – About the status of the second incompleteness theorem – That mathematics cannot found itself is undecidable, too – About the Gödel number of the first incompleteness theorem – An problem about the „prime symbols” – Hilbert or Gödel mathematics – Which is the mathematics of the real world? – The viewpoint of “dualistic Pythagoreanism”
Самореференциалността – Концептуалният ни фон – Множеството,
чието множество от подмножества е изброимо – Аксиомата за фундираността и аксиомата за избора – Подходът на Генцен и концепцията на Тарски за истината – Отново за Ψ-функцията като число в обобщена бройна система – Теоремата на Мартин Льоб за пропозицията, твърдяща доказуемостта си – Редундантната концепция на Рамзи за истината – Субективна и обективна вероятност – Интерпретация в квантовите термини – Обща основа за парадокса на Лъжеца и на Стрелата – Подход към проблема за пълнотата на Пеановата аритметика – Синтаксис и семантика – Теоремата на Генцен – Принципът на трансфинитната индукция – Стратегия за дуално обосноваване на пълнотата – Идея за дуална непротиворечивост – Трансфинитна индукция до ε0 – Трите равнища на математиката по Генцен – Въпросът за математика и физика отвъд пълнотата – Трансфинитност и финитизъм – Финитизъм, конструктивизъм, интуиционизъм и „актуализъм” (формализъм) – От позиция на „дуалистичното питагорейство” – Функцията „наследник” и функцията „цялост” – Трансфинитна и пълна индукция – Трансфинитно изчисление и трансфинитен алгоритъм – Квантов компютър чрез две машини на Тюринг – Суперфинитна индукция – Дуалност на крайно и безкрайно – Аритметика на Генцен – За недоказуемостта на трансфинитна индукция до ε0 –„Възможността за примиряване на различните гледни точки” – Математика и физическа реалност по Генцен –Рефлексия на отправната точка към теоремите на Гьодел – Скицата на Гьодел на първата теорема за непълнотата – Включване на антиномично твърдение в доказателство – Цената – Теория с противоречие и теория с неразрешимо твърдение – Проблемът със самореференциално прилагане на първата теорема – Твърдение, от чиято валидност следва неразрешимостта му – Идея за негьоделова, или хилбертова математика – ω-непротиворечивостта – Метаматематическото изключване на самореференциално прилагане на първата теорема за непълнотата – За статута на втората теорема за непълнотата – Реалибитация за хилбертовата програма – Недоказуемост също така и за несамообосноваването на математика – За гьоделовия номер на първата теорема за непълнотата – Проблем с „първичните знаци” – Хилбертова и Гьоделова математика – Коя е математиката на реалния свят? – Позицията на „дуалистичното питагорейство”
чието множество от подмножества е изброимо – Аксиомата за фундираността и аксиомата за избора – Подходът на Генцен и концепцията на Тарски за истината – Отново за Ψ-функцията като число в обобщена бройна система – Теоремата на Мартин Льоб за пропозицията, твърдяща доказуемостта си – Редундантната концепция на Рамзи за истината – Субективна и обективна вероятност – Интерпретация в квантовите термини – Обща основа за парадокса на Лъжеца и на Стрелата – Подход към проблема за пълнотата на Пеановата аритметика – Синтаксис и семантика – Теоремата на Генцен – Принципът на трансфинитната индукция – Стратегия за дуално обосноваване на пълнотата – Идея за дуална непротиворечивост – Трансфинитна индукция до ε0 – Трите равнища на математиката по Генцен – Въпросът за математика и физика отвъд пълнотата – Трансфинитност и финитизъм – Финитизъм, конструктивизъм, интуиционизъм и „актуализъм” (формализъм) – От позиция на „дуалистичното питагорейство” – Функцията „наследник” и функцията „цялост” – Трансфинитна и пълна индукция – Трансфинитно изчисление и трансфинитен алгоритъм – Квантов компютър чрез две машини на Тюринг – Суперфинитна индукция – Дуалност на крайно и безкрайно – Аритметика на Генцен – За недоказуемостта на трансфинитна индукция до ε0 –„Възможността за примиряване на различните гледни точки” – Математика и физическа реалност по Генцен –Рефлексия на отправната точка към теоремите на Гьодел – Скицата на Гьодел на първата теорема за непълнотата – Включване на антиномично твърдение в доказателство – Цената – Теория с противоречие и теория с неразрешимо твърдение – Проблемът със самореференциално прилагане на първата теорема – Твърдение, от чиято валидност следва неразрешимостта му – Идея за негьоделова, или хилбертова математика – ω-непротиворечивостта – Метаматематическото изключване на самореференциално прилагане на първата теорема за непълнотата – За статута на втората теорема за непълнотата – Реалибитация за хилбертовата програма – Недоказуемост също така и за несамообосноваването на математика – За гьоделовия номер на първата теорема за непълнотата – Проблем с „първичните знаци” – Хилбертова и Гьоделова математика – Коя е математиката на реалния свят? – Позицията на „дуалистичното питагорейство”
Ако имате намерение да прочетете и осмислите настоящата работа, то е необходимо да вникнете в нейната мотивация и в частност в това, че не бива да се подхожда с обичайната, която вижда в теоремата само един (мета)-математически проблем, допускащ повече или по-малко фриволни философски интерпретации. Ще си послужа с думите на Грегъри Чейтин, които са като извод и заключение на статия със само по себе си знаменателното заглавие „Сериозен проблем ли е непълнотата?“ (Chaitin 2007):
Така, по мое мнение, непълнотата е крайно сериозна. Тя ни принуждава да осъзнаем, че може би математиката и физиката не са толкова различни, колкото повече хора мислят.
Математика ≈ Физика?! (Chaitin 2007: 302)
Теоремата за непълнотата може да се тълкува или извежда и от информационна гледна точка по следния начин. Ако една теорема съдържа повече информация от дадено множество аксиоми, то тогава е невъзможно теоремата да бъде изведена от аксиомите (Chaitin 1982), но очевидно може да бъде изказана изчерпателно и коректно на езика, въведен чрез самите тези аксиоми. Такава интерпретация обаче се подлага на остра критика (Franzén 2005: 143-144), както и цялостните и далеч отиващи философски изводи на Чейтин по отношение на непълнотата в контекста на сложността и безкрайността (пак там, цялата осма глава: 137-154). Малко по-надолу се опитваме да покажем, че поне съществува философска и метаматематическа позиция, от която възгледите на Чейтин могат да се обобщят по начин, такъв че критиките срещу неговата „случайна математика“ и концепцията му за „вярно по случайност“ да могат да отпаднат.
По темата за теоремите на Гьодел и непълнотата има изобилие от литература. Все пак биха могли да се отбележат работи, които по-скоро са насочени към концептуално и философско осмисляне, въпреки че не са направени съществени компромиси със строгостта на изложението (напр. Smith 2007; Mostowski 1952). Сред българските философски автори бих споменал Люцканов (2008). Съществена е връзката с по-късните работи на Гьодел и с теория на множествата (напр. Kanamori 2010: 147-166). Ще подчертаем, че доказателството на Гьодел съдържа построяването на една поредица от метаматематически твърдения, отнасящи се до аксиоматичната система на Principia Matethematica (Whitehead, Russell 1910; 1927). Те могат да бъдат явно и изчерпателно посочени (напр. Nagel, Newman 2001: 92-108).
Нашият подход ще бъде заедно с това диаметрално противоположен спрямо цитираната позицията на Чейтин: както две аксиоматики, споделящи аксиома и нейното отрицание. Докато той пита дали математиката не е физика, нашият въпрос е: не е ли физиката математика? Така или иначе непълнотата поставя и двата въпроса. Неговата гледна точка води до първия вариант, който е собствено експлицираният от аржентино-американския информатик, докато евентуалното ѝ отхвърляне или ограничаване ни насочва към втория и очевидно към някакъв тип питагорейство: далеч не само и не толкова математиката като частна, регионална онтология, но и една фундаментална онтология, която е математика … Разбира се, това е насока сходна с идеи на великия френски философ Бадиу и по-точно, от неговото основно произведение „Битие и събитие“. Все пак ако си позволим за миг да излезем от обхвата на настоящата работа, може да се отбележи съществуването на гледна точка, от която двата изложени и наглèд противоположни подхода („математиката като физика“ и „физиката като математика“) могат не само да се обединят, но и да се положат в синкретично единство на основата на скулемовски тип относителност (Пенчев 2009: 307 и сл.) на случайно и необходимо. „Половината относителност“ на необходимото като случайно, би имплицирал възгледа на Чейтин, но другата и неразделна „половина относителност“ на случайното като необходимо – идеи, сродни на развиваните в настоящия текст.
Феферман изтъква
големия контраст между дълбоките платонически убеждения, към които се придържа Гьодел относно обективната основа на математиката, и особената предпазливост, която упражняваше при разкриване на тези убеждения (Feferman 2003: 96).
Една от основните тези на настоящата работа е че т.нар първа теорема за непълнотата на Гьодел може и следва да се отнесе към себе си, тъй като изпълнява своите собствени условия. Поради това от нейната валидност следва нейната неразрешимост. Разглеждат се и множество контексти на подобна неразрешимост, редица от които се съдържат или произтичат от работите на Гьодел (1930, 1931). В частност следва и е особено подчертано, че самообосноваването на математиката на аритметична основа (програмата на Хилберт) нито може да се приеме, нито да се отхвърли с вътрешно-математически средства.
За да се отнесе т. нар. първа теорема за непълнотата на Гьодел към себе си, тя следва да се разгледа като завършена теория, която съдържа в себе си аритметиката на Пеано. За да бъде направено това, трябва да се подчертае, че всъщност разглеждането на Гьодел не обсъжда демаркационната линия между теорема и теория, освен че се съдържа аритметиката на Пеано. Наистина в крайна сметка това, което обичайно се приема за теория, всъщност може да се приеме за един единствен синтактично правилен низ, т.е. за една единствена теорема. Условието на т.нар първа теорема за непълнотата на Гьодел изисква да се съдържа аритметиката на Пеано. В условието на самата негова теорема тя се съдържа, бидейки явно посочена.
Дали обаче съществува или евентуално дали може да се обоснове забрана за приложението на теоремата към самата себе си? Самият Гьодел не го прави, освен в увода, като тогава се позовава на метаматематически съображения. Бихме могли само привидно да решим проблема като зачислим теоремата към метаматематиката, позовавайки се на Ръселовата теория на типовете (Russell 1908). Тогава теоремата наистина би могла да се постави на по-високо равнище в йерархията на типовете, но това по никакъв начин не пречи да се приложи към самата себе си. Наистина Ръселовата теория забранява отнасянето към себе си, доколкото тогава би се получил порочен кръг (Russell 1908: 236-237). Как обаче тогава бихме могли да оправдаем или дори да извиним построяването на твърдение, което твърди собствената си недоказуемост (Gödel 1931: 176; 1986: 150, 151), като ключов момент в доказателството? Удовлетворява ли такова твърдение аксиомата за редуцируемостта (Russell 1908: 243)?
